10. Sınıf Uzay Geometrisi Çözümlü Sorular

10. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi (Katı Cisimler) Çözümlü Soruları, Problemleri ve Pdf testlerin olacağı yazımıza hoş geldiniz arkadaşlar. Sorulara geçmeden önce 10. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi Konu Anlatımı yazımızı inceleyebilirsiniz.

Soru 1: Ayrıt uzunlukları 12 cm, 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hediye kutusunun hacminin kaç cm³ ve yüzey alanının kaç cm² olduğunu bulunuz.

Cevap: Dikdörtgenler prizması şeklindeki hediye kutusu aşağıdaki gibi verilsin.

Bu prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı olduğundan 12.20.30 = 7200 cm³ olur.

Prizmanın yüzey alanı, 2.(12.20 + 12.30 + 20.30) = 2.(240 + 360 + 600)
= 2.200
=2400 cm³ olarak buluruz.

 

Soru 2: Taban alanı 24√3 cm² ve yüksekliği 10 cm olan bir düzgün altıgen dik prizmanın hacminin kaç cm³ olduğunu bulunuz.

Cevap: Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olduğundan;

24√3 . 10 = 240√3 cm³ oalrak hacmi buluruz.

 

Soru 3: Bir ayrıtı 2 m olan küp şeklindeki 4 kutu şekildeki gibi yerleştirilmiştir.
Bu kutularla oluşturulan şeklin tüm yüzeyi bir kumaşla kaplanmak isteniyor. Buna göre bu şekil için en az kaç m2 kumaş gerektiğini bulunuz.

Cevap: Küp biçimindeki kutuların yerleştirilmesiyle oluşan şeklin yüzeyleri sayıldığında toplam 18 yüzey olduğu görülür. Bir yüzeyin alanı 2² = 4 m² olduğundan şeklin tüm yüzeyinin alanı 18.4 = 72 m² olur.

Buradan şeklin tüm yüzeyini kaplamak için gereken kumaş en az 72 m² olarak bulunur.

 

Soru 4:Yandaki şekilde verilen üçgen dik piramitte [BA] ⊥ [AC] ; |AB| = 18 cm, |AC| = 24 cm ve piramidin yüksekliği 24 cm olduğuna göre [TA] ayrıtının uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.

Cevap: Piramidin tabanı olan ABC dik üçgeninde kenarortaylar çizilsin ve kenarortayların kesim noktasına G noktası denilsin. ]TG] , ABC  nin bulunduğu düzleme diktir. Bu durumda [TG] ⊥ [AG], [TG] ⊥ [BG] ve [TG] ⊥ [CG] olur.

|BC|² = |AB|² +|AC|²
|BC|² = 18² + 24² = 30²
|BC| = 30 cm olur.

ABC dik üçgeninde dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen kenarortay uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olur. G noktası ağırlık merkezi olduğundan |GK| = 5 cm ve |AG| = 10 cm olur.

TGA dik üçgeninde Pisagor teoremi kullanılarak
|TA|² = |AG|² +|TG|²
|TA|² = 10² + 24²
|TA|² = 100 + 576
|TA|² = 676
|TA| = 26 cm bulunur.

 

Soru 5: Aşağıdaki şekildeki düzgün kare prizmanın üst tabanının ağırlık merkezi T noktasıdır. AB = 6√2 cm ve düzgün kare piramit olan (T, ABCD) nin bir yanal ayrıtının uzunluğu 10 cm olduğuna göre prizmanın yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Cevap: T noktası, A’B’C’D’ karesinin ağırlık merkezi ise [A’C’] ve [B’D’] nın kesişimi olan noktadır. Verilen şekil düzgün kare prizma olduğundan [TG] nın
uç noktalarından olan G noktası ABCD karesinin ağırlık merkezidir. Buradan
[TG] // [BB’] ve [TG] = [BB’] elde edilir.

ABCD kare ise [AG] ⊥ [BG] ve |AG| = |BG| olur ve açıları 45°, 45°, 90° olan dik üçgen yardımıyla |AG| = |BG| = 6 cm bulunur.
[TG] , ABCD karesinin düzlemine dik olduğundan TGA  dik üçgen olur ve 3 birim, 4 birim – 5 birim üçgeni yardımıyla |TG| = 8 cm bulunur.
Buradan, verilen prizmanın yüksekliği yanal ayrıt uzunluklarına eşit olduğundan
|BB’| = |TG| = 8 cm elde edilir.

 

Soru 6: Hacmi 18√2 cm³ olan düzgün dört yüzlünün tüm yüzey alanının kaç cm² olduğunu bulunuz.

Cevap: Hacim = ​\( \displaystyle \frac{a^3√2}{12} \ ⇒ 18√2 =\frac{a^3√2}{12} \ ⇒ a^3 = 196 ⇒ a=6 \ cm \ olur. \)

Bu durumda bir kenarının uzunluğu 6 cm olan düzgün dört yüzlünün tüm yüzey alanı A olmak üzere;
A = a²√3
A = 6²√3
A = 36√3 cm² olur.

 

Soru 7: Taban ayrıtı 20 cm , yüksekliği de 40 cm olan bir kare prizmanın içinde
24 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu prizma yan yüzeyi üzerine yatırıldığında içindeki suyun yüksekliğinin kaç santimetre olacağını bulalım.

Cevap: Prizmanın ilk durumu yukarıdaki şeklide  olduğu gibidir. Prizmada bulunan suyun hacmini bulalım.
Sıvılar içinde bulundukları kabın şeklini alırlar. Bu yüzden prizmadaki su 24
cm yükseklik ve 20 cm taban ayrıtına sahip bir kare prizma olarak düşünülebilir.
Buna göre suyun hacmi, 20 . 20 . 24 = 9600 cm³ tür.

Kare prizma yan yatırıldığında içindeki suyun hacmi değişmeyecektir. Ancak
bu durumda su, aşağıdaki şekilde olduğu gibi taban ayrıtları 40 cm ve 20 cm,
yüksekliği x cm olan bir dikdörtgenler prizması şeklini alacaktır.

Suyun hacmi 9600 cm³ e eşit olduğundan,
9600 = 40 . 20 . x ⇒ 9600 = 800 x
⇒ x = 12 cm bulunur.

 

Soru 8: Tabanının kenar uzunluğu 8 br ve hacmi 384√3 br³  olan düzgün altıgen dik piramidin yüksekliğini bulalım.

Cevap: Düzgün altıngensel bölge, birbirine eş 6 eşkenar üçgensel bölgeden oluştuğundan kenar uzunluğu 8 br olan eşkenar üçgensel bölgenin alanının 6
katı, yukarıdaki şekildeki piramidin taban alanı olur.
Kenar uzunluğu 8 br olan eşkenar üçgensel bölgenin alanı,

\( A(OBC) = \displaystyle\frac{8^2√3}{4} = 16√3 \ br^2 \ dir. \)