11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri
  • Yarım Açı Formülleri
  • Dönüşüm Formülleri
  • Ters Dönüşüm Formülleri
  • Pisagor Formülleri
  • Trigonometrik Denklemler

 

İKİ YAY TOPLAMININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

♦  sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y

♦  cos (x + y) = cos x. cos y – sin x. sin y

♦  tan (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x + tan~y}{1- tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x+y)} \)

 

İKİ YAY FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

♦  sin (x – y) = sin x. cos y – cos x. sin y

♦  cos (x – y) = cos x. cos y + sin x. sin y

♦  tan (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x – tan~y}{1+ tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x-y)} \)

 

NOT :  a ve b reel sayılar olmak üzere ​

\( -\sqrt{a^2 + b^2}​≤a.sinx +b.cosx≤\sqrt{a^2 + b^2}​ \)olur.

 

Örnek;

\( \displaystyle\frac{sin 48º}{sin 16º} – \frac{cos 48º}{cos 16º} \)​ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm;

\( \begin{equation}\displaystyle{\frac{sin 48º}{sin 16º}} – \frac{cos 48º}{cos 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin 48º. cos 16º – cos 48º. sin 16º}{cos 16º. sin 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin (48º – 16º)}{\displaystyle\frac{1}{2}. 2. sin 16º. cos 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{2. sin 32º}{\displaystyle{sin 32º}}\end{equation} = 2 \)​ olur.

 

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

 

♦  sin 2x = 2. sin x. cos x

♦  cos 2x = cos²x – sin²x

♦  cos 2x = 2. cos²x – 1

♦  cos 2x = 1 – 2. sin²x

♦  tan 2x  = ​\( \displaystyle\frac{2. tan x}{1 – tan^2 x} \)

 

Örnek;

3. sinx – 4. cosx = 0 olduğuna göre, |cos 2x| değeri kaçtır ?

Çözüm;

3. sinx – 4. cosx = 0 ise

3. sinx = 4. cosx olur. Buradan

3/4 = sinx/cosx = tanx ‘dir.

tanx = 3/4 ise 3- 4- 5 üçgeninden hipotenüs 5  ve cos x = 3/5 olur.

cos 2x için yarım açı formüllerinden uygularsak;

cos 2x = 2. cos² – 1

cos 2x = 2. (3/5)² – 1

cos 2x = 18/25 – 1 = -7/25

|cos 2x| = |-7/25| = 7/25 olur.

PİSAGOR FORMÜLLERİ

 

♦  sin²x + cos²x = 1

♦  tan²x + 1 =  sec²x

♦  cot²x + 1 =  cosec²x

DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

 

Toplam veya fark durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

♦  ​\( sin x + sin y = 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( sin x – sin y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x + cos y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x – cos y = – 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y}{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y} = tan\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y}{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y} = cot\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

 

TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

 

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri toplam durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

♦  ​\( cos x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) + cos (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[sin (x + y) + sin (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. sin y = – \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) – cos (x – y)] \)

 

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

 

İçinde trigonometrik ifade barındıran denklemlere trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.

NOT : Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine .., -1, 0, 1 .. gibi tam sayılar yazılarak denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden bize verilen aralıkta olanları alınır.

Trigonometrik Denklem Çeşitleri

“sin x = sin a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi sin x = sin a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x_1} \)​ = a + 360º.k = a + 2πk

\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – a + 360º.k = π- a + 2πk olur.

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Örnek; 

sin x = sin 70º ve x ∈ [0, 2π] olmak üzere x’in çözüm kümesi nedir ?

Çözüm;

\( \displaystyle{x_1} \) = 70º + 360º.k

\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – 70º + 360º.k = 110º + 360º.k

k = 0 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = 70º

\( \displaystyle{x_2} \) = 110º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığında olur.

 

k = 1 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = 430º

\( \displaystyle{x_2} \) = 470º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,   x’in aralığının dışında olur.

 

k = – 1 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = -290º

  \( \displaystyle{x_2} \) = -250º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

Bu durumda x’in çözüm kümesi {70º, 110º } olur.

“cos x = cos a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi cos x = cos a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x_1} \)​ = a + 360º.k = a + 2πk

\( \displaystyle{x_2} \) = – a + 360º.k = – a + 2πk olur.

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Örnek; 

cos 3x = sin x ve x∈ [0º, 180º] ise x’in çözüm kümesi ne olur ?

Çözüm;

Formülü uygulayabilmek için sin x ‘i kosinüs cinsinden yazalım.

cos 3x = cos ( 90º – x)

3x​ = 90º – x + 360º.k  ⇒ x = 22,5º + 90º.k

3x = – 90º + x + 360º.k ⇒ x = – 45º + 180º.k

x, [0º, 180º] aralığında olduğuna göre k’ya değerler verirsek;

k = 0  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = 22,5º

\( \displaystyle{x_2} \)= – 45º

\( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

 

k = 1  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = 112,5º

\( \displaystyle{x_2} \)= 135 º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığında olur.

 

k = – 1  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = – 67,5º

  \( \displaystyle{x_2} \)= – 225 º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

 

“tan x = tan a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi tan x = tan a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x} \)​ = a + 180º.k = a + πk

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

“cot x = cot a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi cot x = cot a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x} \)​ = a + 180º.k = a + πk

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu
  • Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

PERİYODİK FONKSİYONLAR

 

f, ​\( \mathbb{R} \)​ kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun. f‘nin tanım kümesinin her x elemanı için f(x) = f(x + T) olacak şekilde bir T pozitif sayısı varsa bu f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir. f(x) = f(x + T) koşulunu sağlayan T sayısına fonksiyonun periyodu, T’nin en küçük pozitif değerine defonksiyonun esas periyodu denir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere, f(x) in periyodu k x T dir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere f(k.x) ‘in periyodu T/|k|’dır.

f(x) in esas periyodu T1 ve f(y) nin esas periyodu T2 ise f(x) ± f(y) nin periyodu EKOK(T1, T2) dır.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYODU

 

Her x ∈ \( \mathbb{R} \) ve k ∈ \( \mathbb{R} \) için,

sin(x + 2kπ) = sin x

cos(x + 2kπ) = cos x

tan(x + kπ) = tan x

cot(x + kπ) = cot x

sec(x + 2kπ) = sec x

cosec(x + 2kπ) = cosec x

olduğuna göre sinx, cosx, tanx, secx, cosecx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.

Sinüs ve Kosinüsün Esas Periyodu

 

\( cos^{n}(ax + b) \)​ve ​\( sin^{n}(ax + b) \)​ fonksiyonlarının esas periyodu ;

♦ n tek ise ​\( \displaystyle\frac{2π}{|a|} \)

♦ n çift ise ​\( \displaystyle\frac{π}{|a|} \)​olur.

 

Örnek: 

\( sin^{3}\left(\displaystyle\frac{x}{6}+\frac{π}{2}\right) \)​in esas periyodu kaçtır?

Çözüm;

\( sin^{3}\left(\displaystyle\frac{x}{6}+\frac{π}{2}\right) \) fonksiyonunu \( sin^{n}(ax + b) \) fonksiyonuna benzetmek istediğimizde;

\( sin^{3}(\displaystyle\frac{1}{6}x + \displaystyle\frac{π}{2}) \)olur.

Bu durumda x’in katsayısı 1/6 dır. Ayrıca sinüs’ün n. kuvveti n = 3’ten tek kuvvet olduğuna göre periyodu;

\( T = \displaystyle\frac{2π}{\displaystyle\frac{1}{6}} = 12π \)olur.

Tanjant ve Kotanjant’ın Esas Periyodu

 

\( tan^{n}(ax + b) \)​ve ​\( cot^{n}(ax + b) \)​ fonksiyonlarının esas periyodu ;

♦  ​\( T = \displaystyle\frac{π}{|a|} \)​olur.

 

Örnek: 

\( tan^{4}(-5x + 4) \)ün esas periyodu kaçtır?

Çözüm;

\( \displaystyle{tan^{4}(-5x + 4) } \)fonksiyonunda x’in kat sayısı -5 ‘dir. Bu durumda fonksiyonun periyodu ;

\( T = \displaystyle\frac{π}{|-5|} = \displaystyle\frac{π}{5} \) olur.

 

NOT: f(x) =  g(x) ± h(x) fonksiyonlarının esas periyodu, EKOK’larına eşittir. Kesirler en sade biçimde olmak üzere,

\[ \displaystyle{EKOK\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) = \frac{EKOK(a,c)}{EBOB(b, d)} } \]

olur.

 

Örnek: 

\( \displaystyle{f(x) = cos^{3}\left(5x + \frac{π}{4}\right) – cot^{2}\left(2x + \frac{π}{3}\right)} \)​ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

Çözüm;

\( cos^{3}\left(5x + \displaystyle\frac{π}{4}\right) \)​ün esas periyodu ​\( \displaystyle\frac{2π}{5} \)​tir.

\( cot^{2}\left(2x + \displaystyle\frac{π}{3}\right) \)​ün esas periyodu ​\( \displaystyle\frac{π}{2} \)​dir.

\( EKOK\left(\displaystyle\frac{2π}{5}, \frac{π}{2}\right) = \displaystyle\frac{EKOK(2π, π)}{EBOB(5, 2)} = 2π \)

Yani T = 2π olur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

 

Periyod: bir grafiğin ardışık iki maksimum noktasının veya ardışık iki minimum noktasının arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklıklar birbirine eşittir.

Genlik: grafiğin orta çizgisi ile uç noktalarından birisi arasındaki düşey uzaklıktır.

Orta Çizgi: grafiğin maksimum ve minimum noktalarının tam ortasından geçen yatay çizgidir.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.

3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise yani aldığı değer artmış ise o aralığa   sembolü yazılır. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise yani aldığı değer azalmış ise o aralığa  sembolü yazılır.

4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanır.

 

Sinüs Fonksiyonunun Grafiği

 

\( f: ~\mathbb{R} -> [~-1, 1~], ~~f(x) = sinx \)

Sinüs fonksiyonu orjine göre simetrik olduğu için, tek fonksiyondur. Yani;

sin( – x ) = – sin x olur.

f(x) = sin x : [-90º, 90º] -> [-1, 1]  aralığında birebir ve örtendir.

Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği

 

\( f: ~\mathbb{R} -> [~-1, 1~], ~~f(x) = cosx \)

Kosinüs fonksiyonu y eksenine göre simetrik olduğu için, çift fonksiyondur. Yani;

cos( – x ) = cos x olur.

f(x) = cos x : [0º, 180º] -> [-1, 1]  aralığında birebir ve örtendir.

 

Tanjant Fonksiyonunun Grafiği

Tanjant fonksiyonu orjine göre simetrik olduğu için, tek fonksiyondur. Yani

tan( – x ) = – tanx olur. tan x,  ​\( \displaystyle\frac{π}{2} \)​ tek katlarında tanımsızdır.

f(x) = tan α : [-90º, 90º] -> ​\( \mathbb{R} \)​  aralığında birebir ve örtendir.

 

Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği

Kotanjant fonksiyonu orjine göre simetrik olduğu için, tek fonksiyondur. Yani;

cot( – x ) = – cot x olur. cot x, π nin katlarında tanımsızdır.

f(x) = cot α : [0º, 180º] -> ​\( \mathbb{R} \)aralığında birebir ve örtendir.

 

Örnek; 

Şekilde [0, 3π/4] aralığında verilmiş olan trigonometrik fonksiyonun grafiği hangi trigonometrik fonksiyona eşittir ?

Çözüm;

Şekildeki grafik sinüs grafiğidir ve periyodu T = π/2 ye eşittir. Yani sinüs fonksiyonunda x’in katsayısı 2’dir.  Buna göre denklemi yazarsak;

sin (ax + b) = sin (2x + 0)  = sin 2x olur.

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Birim çemberde trigonometrik fonksyionlar
  • Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranı
  • Geniş açıların trigonometrik oranları
  • Üçgende trigonometrik bağıntılar
  • Ters trigonometrik fonksiyonlar

BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonu

x : apsis

y : ordinat

Pozitif yönlü bir α açısının birim çemberde bitim noktasına P dersek, bu P noktasının apsisine α açısının kosinüsü denir.  x= cosα şeklinde gösterilir. α açısını cosα yapan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğundan  -1 ≤ cosα ≤ 1 olur.

P noktasının ordinatına ise α açısının sinüsü denir. y = sinα şeklinde gösterilir. α açısını sinα yapan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir. Birim çember 1 birim olduğunda -1 ≤ sinα ≤ 1 olur.

P ( cos α, sin α ) olarak ifade edebiliriz. 

cos²α +sin²α  = 1

 

A noktasının koordinatları (cos0, sin0) = ( 1, 0 )  dır.

B noktasının koordinatları (cos90, sin90) = ( 0, 1 )  dir.

C noktasının koordinatları (cos180, sin180) = ( -1, 0 )  dir.

D noktasının koordinatları (cos270, sin270) = ( 0, -1 )  dir.

 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu

Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının x = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya T noktası dersek, T noktasının ordinatına α açısının tanjantı denir.  tan α şeklinde gösterilir. α reel sayısını tan α yapan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. tan α [-∞, ∞] aralığındadır.

Pozitif yönlü bir α açısının bitim kolu olan [OP ışınının y = 1 doğrusu ile kesiştiği noktaya K noktası dersek, K noktasının apsisine α açısının kontanjantı denir.  cot α şeklinde gösterilir. α reel sayısını cot α yapan fonksiyona kontanjantı fonksiyonu denir. cot α [-∞, ∞] aralığındadır.

Kosekant, Sekant Fonksiyonu

Birim çemberde pozitif yönlü bir α açısının çember üzerindeki noktası P dersek ve çembere bu P noktasından geçen bir teğet çizildiğinde; teğetin x eksenini kestiği noktaya sekant, y eksenini kestiği noktaya kosekant denir.   Sekant sec α ve kosekant cosec α şeklinde gösterilir.

secα = ​\( \displaystyle\frac{1}{cosα} \)​   ve    cosecα = \( \displaystyle\frac{1}{sinα} \)

 

NOT:  cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.

1 + tan2x = sec2x1 + cot2x = cosec2x

Örnek;

\[ \displaystyle\frac{sinx}{cotx + cosecx} – \displaystyle\frac{sinx}{cotx-cosecx} \]

ifadesi kaça eşittir ?

Çözüm;  Öncelikle sorumuzda iki kesirinde payı sinx olduğuna eşitliği sinx parantezine alarak başlayalım. Sonrada paydadaki cotx ve cosecx değerlerini sinx ve cosx cinsinden yazalım.

\[ = sinx\left( \displaystyle\frac{1}{cotx + cosecx} – \frac{1}{cotx-cosecx}\right) \]

\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} + \displaystyle\frac{1}{sinx}} – \frac{1}{\displaystyle\frac{cosx}{sinx} – \displaystyle\frac{1}{sinx}}\right) \]

\[ = sinx \left(\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx + 1}{sinx}} – \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{cosx -1}{sinx}}\right) \]

\[ = sinx \left(\displaystyle\frac{sinx}{cosx + 1}- \frac{sinx}{cosx -1}\right) \]

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{1}{cosx + 1}- \frac{1}{cosx -1}\right) \]

paydaları eşlenikleri ile çarparsak;

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{cosx-1-cosx-1}{cos^2x – 1}\right) \]

\[ = sin^2x \left(\displaystyle\frac{-2}{-sin²x}\right) \]

= 2 olarak cevabımızı buluruz.

 

DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

Ölçüleri toplamı α + θ  = 90º olan iki tümler açı için;

♦   sin α = cos θ

♦    tan α = cot θ

♦   sec α = cosec θ  olur.

NOT :  α eksi yönlü bir açı olmak üzere; 

sin(-α) = -sin α

cos(-α) = cos α

tan(-α) = -tan α

cot(-α) = -cot α  olur.

Dar açılara en çok ihtiyacımız olan yerler özel üçgenlerdeki açılardır. Sorularda da karşımıza bu özel üçgenler çokça çıkarlar. Buna göre bazı özel üçgenlerin ve açılarının trigonometrik değerlerinin üzerinden geçelim.

30 – 60- 90 Üçgeni

30 – 60 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 30, cos 30, tan 30, cot 30, sec 30, cosec 30, sin 60, cos 60, tan 60, cot 60, sec 60 ve cosec 60 olacaktır.

45 – 45- 90 Üçgeni

45 – 45 – 90 üçgeni için bilmemiz gereken en önemli tirgonometrik bağıntılar; sin 45, cos 45, tan 45, cot 45, sec 45 ve cosec 45 olacaktır.

GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

İlk verilen açı, esas ölçü dışında yani [0º, 360º] aralığı dışında ise öncelikle esas ölçüsü bulunur.  α< 90º olduğu kabul edilerek  trigonometrik oranın işareti belirlenir. Aşağıdaki tablolardan bulun için yardım alabilirsiniz. Eğer negatifse, başa ” –” işareti konulur.

α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde I. bölgede ve II. bölgede trigonometrik fonksiyonlar; 

α< 90º olmak üzere koordinat sisteminde III. bölgede ve IV. bölgede trigonometrik fonksiyonlar; 

 

NOT:  90° ya da ​\( \displaystyle\frac{π}{2} \)​ nin tek katlarında (90º, 270º..) sinüs ile kosinüs, tanjant ile kotanjant yer değiştirir. 90° ya da ​\( \displaystyle\frac{π}{2} \)​ nin çift katlarında (180º, 360º..) fonksiyonların adı aynı olur.

 

Örnek:  

cos(90+x) dar açıya dönüştürülürse neye eşit olur ?

Çözüm:  

90+x açısı II. bölgededir. II. bölgede kosinüs (-) dir. Dolayısıyla başa (-) işareti gelecektir. 90 açısı da 90’ın 1 katıdır(tek katı). Dolayısıyla kosinüs, sinüse dönüşecektir. O halde,

cos(90+x)= – sinx  olur.

 

ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

Kosinüs Teoremi

Bir üçgende iki kenar ve arasındaki açıyı bilerek, karşıdaki kenarı Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz.

a² = b² + c² – 2.b.c.cos α

Örnek;

Yukarıda ABC ve ECD üçgenleri verilmiştir. [ED] = x ise x kaçtır ?

Çözüm;

ABC üçgeninden cos α yı bulalım.

7² = 5² + 8² – 2.5.8. cos α

49 = 25 + 64 – 80cos α

49 = 89 – 80cos α

-40 = -80 cos α

1/2 = cos α olur. Bu durumda cos(180 – α), II. bölgede ve işareti – olacağından

cos(180 – α) = -1/2 olur.

ECD üçgeninde iki kenarı ve bir açıyı bildiğimize göre kosinüs teoremi uygularsak;

x² = 2² + 3² – 2.2.3.cos(180 – α)

x² = 4 + 9 – 12.(-1/2)

x² = 13 +6

x² = 19

x = √ 19 olur.

 

Sinüs Teoremi

Bir üçgende kenar ile karşısındaki açının sinüsü arasında doğru orantı vardır. Bu oran da çevrel çemberin yarıçapının 2 katıdır.

\[ \displaystyle\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

 

Örnek;

tan α kaçtır ?

Çözüm;

|AD| = |DC| olduğuna göre, m(DAC) = α’dır. BDC üçgeni bir 3-4-5 üçgeni ve sin B = 3/5’tir. ABC üçgeninde sinüs teoremi uygularsak,

\( \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{sin(90 + α)} \)

\( \displaystyle\frac{4}{sin α} = \frac{8}{cos α} \)

\( \displaystyle\frac{4}{8} = \frac{sin α}{cos α} \)

\( \displaystyle\frac{1}{2} = tan α \)

 

Sinüs Alan Formülü

\[ A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.b.c.sinα \]

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

 

sin (α) ‘nın tersi ; arcsin (α) veya ​\( sin^{-1}(α) \)​’dır.

cos (α) ‘nın tersi ; arccos (α) veya ​\( cos^{-1}(α) \)​’dır.

tan (α) ‘nın tersi ; arctan (α) veya ​\( tan^{-1}(α) \)​’dır.

cot (α) ‘nın tersi ; arccot (α) veya ​\( cot^{-1}(α) \)​’dır.

Arksinüs Fonksiyonu

Tanım aralığı -90º≤ sin α ≤ 90º alınmış sin α fonksiyonunun tersine  arcsin α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = sin α : [-90º, 90º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = sin–1 α = arcsin α :  [-1, 1] -> [-90º, 90º]  olur.

 

Örnek;

arcsin (1/2)  kaç derecedir ?

Çözüm;

arcsin (1/2)’nin kaç derece olduğunu bulmak için sin α = 1/2 olan α açısı kaçtır dememiz lazım. Bunun için bir dik üçgen çizersek;

Kenarlarına göre baktığımızda; sin α , 30 – 60 – 90 üçgeninde 1/2 olduğuna göre α açımız 30º olur.

 

Arkkosinüs Fonksiyonu

Tanım aralığı 0º≤ cos α ≤ 180º alınmış cos α fonksiyonunun tersine  arccos α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = cos α : [0º, 180º] -> [-1, 1] ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = cos–1 α = arccos α :  [-1, 1] -> [0º, 180º]  olur.

 

Arktanjant Fonksiyonu

Tanım aralığı -90º≤ tan α ≤ 90º alınmış tan α fonksiyonunun tersine  arctan α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = tan α : [-90º, 90º] -> ​\( \mathbb{R} \)​ ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = tan–1 α = arctan α :  ​\( \mathbb{R} \)-> [-90º, 90º]  olur.

 

Arkkotanjant Fonksiyonu

Tanım aralığı 0º≤ cot α ≤ 180º alınmış cot α fonksiyonunun tersine  arccot α denir. Bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda;

f(x) = cot α : [0º, 180º] -> ​\( \mathbb{R} \)​ ise bu fonksiyonun tersi,

f–1(x) = cot–1 α = arccot α :  ​\( \mathbb{R} \)-> [0º, 180º]  olur.

 

Örnek;

arccot(1) + arctan(​\( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)​)

toplamının sonucunu radyan cinsinden bulunuz .

Çözüm;

arccot fonksyionunun değer aralığı [0º, 180º]’dir. Kotanjantı 1 olan açı;

arccot(1) = cot–1 α = 45º olur.  (cot 45 = 1) Tanjantı \( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)

olan açı;

arctan(\( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)) = tan–1 α = 120º olur.  (tan 120 = \( \displaystyle\frac{-√3}{3} \)) olur.

45º + 120º = 165º, π = 180º olduğuna göre, 165º;

165º/180º = 11π/12’dir.

 

NOT: 

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu, fonksiyonun kendisine eşittir.

♦ sin(arcsin α) = α

♦ cos(arccos α) = α

♦ tan(arctan α) = α

♦ cot(arccot α) = α

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Açı, Yönlü Açı, Açı Ölçüleri
  • Birim Çember, Esas Ölçü

TRİGONOMETRİ

Trigonometri üçgensel ölçüdür. Üçgenin kenarları ve köşeleri arasındaki ilişkiyi anlamak için oluşturulmuştur.

AÇI, ESAS ÖLÇÜ, BİRİM ÇEMBER

 

Açı; aynı doğru üzerinde olmayan, başlangıç noktası aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. Açıyı oluşturan ışınların kesiştiği noktayaaçının köşesi, ışınlara ise açının kenarı(kolları) denir.

Açı radyan ve derece gibi birimlendirmelerle ölçülür. Yarıçap uzunluğuna eşit uzaklıktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne radyan denir.

\( m(\displaystyle\stackrel\frown{AB}) = 1~ rad \)

Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne derece denir.

Radyan ve derece arasında 2π = 360º bağıntısı kullanılarak orantıyla gerekli dönüşüm yapılabilir.

\( \displaystyle\frac{D}{360} = \displaystyle\frac{R}{2π} \)

 

Dereceden küçük açıları ifade etmek için dakika ve saniye kullanılır. 1 derece, 60 dakikadır. Dakika 60′  şeklinde gösterilir. 1 dakika ise 60 saniyedir. Saniye 60″ şeklinde gösterilir.

 

Örnek ;

270º kaç radyandır ?

Çözüm ;

\( \displaystyle\frac{D}{360} = \displaystyle\frac{R}{2π} \)​ ise 270º nin radyan cinsinden ölçüsüne “R” dersek;

270º / 360º = R/2π

270º. 2π = R. 360º

R = (270º. 2π) . 360º

R = 3π/ 2 olur.

 

Örnek ;

x = 45º  15′  40″ ve y = 25º  35′  50″ ise x – y kaç olur ? 

Çözüm ; 

x’den y’yi çıkarmak istediğimizde 40 saniyeden 50 saniye çıkmaz. Bunun için 15’den bir dakika alırız. 1 dakika 60 saniye olduğuna göre x = 45º  14′  100″ olur. 14 dakikadan 35 dakikayı çıkarmak istediğimizde yine komşuya gider (45º) 1 derece alırız. 1 derece 60 dakika olduğuna göre x = 44º  74′  100″ olur. Bu durumda sonucumuz; 

x – y = 19º  39′  50″ ‘dur.

 

 

Esas Ölçü;  k ∈ Z ve α ∈ [0, 2π] olmak üzere, β = α + k. 2π ≅ β = α + k. 360º eşitliğini sağlayan β açısına α açısının esas ölçüsü denir.

 

Esas ölçüyü bulurken bilmemiz gerekenler

♦  Açının yönü ne olursa olsun, esas ölçüsü pozitif bir değer olur. Yani esas ölçü [0º, 360º] aralığındadır.

♦  Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360º ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

♦  Derece cinsinden verilen negatif açılarda, açının pozitif bir açı gibi 360º ye  bölünür. Bu bölümden bulunan kalan(bir negatif değer çıkar) 360º derece ile toplanarak esas ölçü bulunur.

♦  Radyan cinsinden verilen açılarda açı, 2π’nin katı artı kalan olacak şekilde ayrılarak yazılır. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

♦  Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan bu ölçü 2π’den çıkarılır.

 

Örnek ; 

1993º nin esas ölçüsü kaçtır ?

Çözüm ; 

2π = 360º dir. 1993º açısını 360º ye bölersek;

1993º = 5. 2π + 193º

1993º nin esas ölçüsü 193º olur.

 

Örnek ; 

47π/3 ün esas ölçüsü kaçtır ?

Çözüm ;

47π/3’ü 2π nin katı artı kalan olacak şekilde yazalım.

47π/3 = 42π/3 + 5π/3

Esas ölçümüz 5π/3 olur.

 

Yönlü Açı; Bir açının kenarlarından birini başlangıç kenarı, diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.  Açılar adlandırılırken önce başlangıç sonra bitim kenarı yazılır.

[BA ∪ [BC = ​\( \displaystyle\widehat{ABC} \)

\( \widehat{ABC} = \displaystyle\widehat{CBA} = \displaystyle\widehat{B} \)

 

Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır. Saatin dönme yönünün tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir. Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

– Pozitif yönlü CBA açısı ​\( \widehat{CBA} \)

– Saat yönünün tersi pozitif yöndür

–  [BC : başlangıç kenarı

–  [BA : bitiş kenarı

​- \( \widehat{CBA} \)​: sembolik gösterim

 

– Negatif yönlü ABC açısı ​\( \widehat{ABC} \)

– Saat yönü negatif yöndür

– [BC : bitiş kenarı

– [BA : başlangıç kenarı

– ​\( \widehat{ABC} \)​: sembolik gösterim

 

Birim Çember; Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) noktasından geçen ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir.

 

Birim çemberin denklemi x2 + y2 = 1 dir.

 

Örnek ;

O merkezli çember birim çember olduğuna göre E noktasının koordinatları (-1/2, n) ise n kaçtır?

Çözüm ; 

Birim çember denklemi x2 + y2 = 1 dir.

x = -1/2 için (-1/2)² + y² = 1

1/4 + y² = 1

y² = 3/4

|y|= √3/ 2 dür. E noktası koordinat sisteminde II. bölgede yer alır. Bu bölgede    (-x, y) olduğuna göre n pozitif bir değer alır. Yani n = √3/ 2 olur.

 

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular