9. Sınıf Matematik Mantık Konu Anlatımı

Mantık Konusu, okulların 9. sınıfında işlenen ilk konudur arkadaşlar. Diğer adıda önermeler olarak geçmektedir. Aşağıda mantık konusunun başlıklarını paylaşarak konu anlatımına başlayacağız.

* Önermeler
* Bileşik Önermeler
* Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme
* Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları

Önermeler başlığı ile konumuza başlayalım;

Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p,q,r,s,t, … gibi küçük harflerle gösterilir.
Önermelerin bildirdiği hükmün doğru ya da yanlışlığına önermenin doğruluk değeri adı verilir.

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri “D” veya “1” ile, yanlış ise “Y” veya “0” ile gösterilir. Bir p önermesi doğru ise p ≡ 1, yanlışsa p ≡ 0 olarak ifade edilir.

Şimdi bir örnek yaparak ne demek istediğimizi anlatalım,

Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadıklarını belirtelim.
a. Bugün hava soğuktur.
b. Bugün hava sıcaklığı – 5 °C dir.
c. Benim boyum uzundur.
ç. Benim boyum 180 cm dir.

Çözüm
a. “Bugün hava soğuktur.” ifadesindeki soğuk olma ölçütü belli olmadığından bu ifade bir önerme değildir.

b. “Bugün hava sıcaklığı – 5 °C dir.” ifadesi bir önermedir. Çünkü havanın sıcaklık değeri ölçülüp – 5 °C olup olmadığı belirlenebilir.

c. “Benim boyum uzundur.” ifadesindeki uzunluk ölçütü belli değildir. Önerme değildir.

ç. “Benim boyum 180 cm dir.” ifadesi önermedir.

Şimdi bir örnek daha yapalım ve konuyu iyice pekiştirelim.

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.
a. p : “2 + 3 = 7 olur.”
b. q : “Ankara bir ildir.”
c. r : “Cumhuriyet 29 Ekim 1923’te ilan edilmiştir.”
ç. s : “En küçük sayı sıfırdır.”

Çözüm
a. 2 + 3 ≠ 7 dir. p önermesi yanlıştır. p ≡ 0 olur.

b. Ankara bir il olduğundan q önermesi doğrudur. q ≡ 1 olur.

c. Cumhuriyetimiz 29 Ekim 1923’te ilan edilmiştir. r önermesi doğrudur. r ≡ 1 olur.

ç. Sıfırdan küçük negatif sayılar vardır. s önermesi yanlıştır. s ≡ 0 olur.

 

NOT: p ve q önermeleri verilsin. p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise p ve q önermelerine denk önermeler denir ve p ≡ q biçiminde gösterilip p denktir q şeklinde okunur.

Şimdi burada ne demek istediğimizi bir örnek ile açıklayalım.

Aşağıdaki önermelerden birbirine denk olanları bulalım.
a. p : “Ağrı Dağı Türkiye’nin en yüksek dağıdır.”
b. q : “En uzun kara sınırımız olan ülke Suriye’dir.”
c. r : “İçtiğimiz su saf sudur.”
ç. s : “Osmanlı Devleti’nin kurucusu Ertuğrul Bey’dir.”

Çözüm
a. Ağrı Dağı, Türkiye’nin en yüksek dağı olduğundan p ≡ 1 olur.
b. Suriye, en uzun kara sınırına sahip olduğumuz ülke olduğundan q ≡ 1 olur.
c. İçtiğimiz suyun içinde mineraller vardır. Dolayısıyla saf su değildir. r ≡ 0 olur.
ç. Osmanlı Devleti’nin kurucusu Osman Bey’dir. O hâlde s ≡ 0 olur. Buradan p ≡ q ve r ≡ s olduğu bulunur.

 

Bileşik Önermeler

En az iki önermenin mantık bağlaçlar adı verilen “ve”, “veya”, “ya da”, “ise”, “ancak ve ancak” bağlaçlarıyla birbirine bağlanmasıyla elde edilen önermelere bileşik önerme denir.

Şimdi bu konu ile ilgili örnekler yapalım.

Örnek: p : “Kimya, fen bilimleri dersidir.” ve q : “Oda sıcaklığı 18 °C dir.” önermeleri ile “veya”lı bileşik önerme yazalım.

Çözüm: pVq : “Kimya, fen bilimleri dersidir veya oda sıcaklığı 18 °C dir.”
qVp : “Oda sıcaklığı 18 °C dir veya kimya, fen bilimleri dersidir.” önermeleri “veya”lı bileşik önermelerdir.

Örnek:  p : “2 · 3 = 6”, q : “Türkiye’nin başkenti İstanbul’dur.” olmak üzere ( p0qı )0pı bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Çözüm: 2 · 3 = 6 olduğundan p ≡ 1, Türkiye’nin başkenti Ankara olduğundan q ≡ 0 olur. Buradan, ( p V qı ) 0pı≡ ( 1V0ı )V1ı

≡ ( 1V1 )V0
≡ 1V0
≡ 1 olarak bulunur.