10. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı

10. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda çokgenler konusunu çözümlü örnek sorular ile birlikte anlattık arkadaşlar. Konu anlatımı dersimizden sonra Dörtgenler Çözümlü Sorular ve Problemleri yazımızıda inceleyebilirsiniz. İşleyeceğimiz konu başlıkları aşağıdaki gibidir;

• Yamuk
• İkizkenar yamuk
• Dik yamuk
• Paralelkenar
• Eşkenar dörtgen
• Dikdörtgen
• Kare
• Deltoid

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A , B , C ve D noktalarını birleştiren [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] ların birleşimine dörtgen denir.
Komşu köşeleri birleştiren doğru parçalarına kenar, karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarına da köşegen denir.

 

Örnek: ABCD dörtgen, m(BCF)=80°, m(DAE)=55°, m(CBE)=115°, m(ADF)= x olarak veriliyor. Buna göre x in kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap: m(BCD) = 180° – m(BCF)
180° – 115°
= 100° dir.

m(ABC) = 180° – m(CBE)
= 180° – 115°
= 65° dir.

Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° olduğundan,
m(DAE)+m(ABC)+m(BCD)+m(CDA) = 360°

55° + 65° + 100° + x = 360°
x = 140° bulunur.

 

Bilgi Bulutu: Bir ABCD dörtgeninde komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

\( α=\displaystyle\frac{m(D) + m(C)}{2} \)

 

Bilgi Bulutu: köşegenleri birbirine dik olan bir ABCD dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı, diğer kenar uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

a² + c² = b² + d²

 

Dörtgenin Çevresi

Bir ABCD dörtgeninin çevresi, dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

Ç ( ABCD ) = | AB | + | BC | + | CD | + | DA |

 

Örnek: Bir dörtgenin kenar uzunlukları 2, 3, 5 ve 7 ile orantılıdır. Dörtgenin çevre uzunluğu 85 cm olduğuna göre en uzun kenarının kaç cm olduğunu
bulalım.

Cevap: Şekilde gösterilen kenar uzunlukları 2k, 3k, 5k ve 7k dır. Bu durumda
çevre, Ç ( ABCD ) = 85 ⇒ 2k + 3k + 5k + 7k = 85
⇒ 17k = 85
⇒ k = 5 tir.

O hâlde en uzun kenar 7k = 7 . 5 = 35 cm bulunur.

 

ÖZEL DÖRTGENLER

Yamuk VE ÖZELLİKLERİ

En az iki kenarı parelel olan dörtgen yamuk olarak adlandırılır.

* Yamukta tabanlar birbirine paraleldir. ABCD yamuğunda [ AB ] // [ CD ] dir.
• Bir yamukta tabanlardan birine ait bir noktadan, diğer tabana inilen dikme yamuğun yüksekliğidir. [DH] ABCD yamuğunun yüksekliğidir.
• Bir yamukta bir yan kenar ile tabanların oluşturduğu iç açıların toplamı 180° dir. Aşağıdaki şekildeki ABCD yamuğunda,
m(A)+m(D)=180°  ve m(B)+m(C)=180°  dir.

 

Örnek: Aşağıdaki şekilde ABCD yamuk, [ CD ] // [ AB ] dir. Verilenlere göre x ve y nin kaç derece olduğunu bulalım.

Cevap:  m(A)+m(D)=180°  olduğundan,
2 x – 20° + 3 x + 50° = 180° ⇒ 5 x + 30° = 180°
⇒ 5 x = 150°
⇒ x = 30° olur.

m(B)+m(C)=180°  olduğundan,
x + 2y + x = 180° ⇒ 2x + 2y = 180°
⇒ 2 . 30° + 2y = 180°
⇒ 2y = 120°
⇒ y = 60° bulunur.

 

Orta Taban

Bir yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

 

Yamukta Orta Taban Uzunluğu

Bir ABCD yamuğunda orta taban uzunluğu alt ve üst tabanların uzunlukları toplamının yarısıdır.

\( |EF| = \displaystyle\frac{|AB| + |DC|}{2} \)

 

İkizkenar Yamuk

Paralel olmayan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

 

Dik Yamuk

Paralel olmayan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

 

Yamuğun Alanı

Bir yamuğun alanı, taban uzunluklarının toplamı ile tabanlara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{(a + c).h}{2} \)

 

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.
ABCD paralelkenarında
[ AB ] // [ DC ] ve [ AD ] // [ BC ] dir.

 

Örnek: ABCD yamuk ve KBCD paralelkenardır. m(DCB) = 120° ve m(DAK) = 60° ise m(ADK) = x’in değeri kaçtır?

 

Çözüm; KBCD paralelkenar olduğundan karşılıklı köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir.
m(DCB) =m(BKD) = 120° dir.

AKD açısı ile BKD açısı bütünler olduğundan
m(AKD) +m(BKD) = 180°
m(AKD) + 120° = 180°
m(AKD) = 180° – 120°
m(AKD) = 60° olur.

 

Paralelkenarın Alanı

[ DE ] ⊥ [ AB ] , [ DF ] ⊥ [ BC ], | AB | = a, | BC | = b ise
A ( ABCD ) = a . ha = b . hb dir.

 

Not: Paralelkenarın bir köşegeni, paralelkenarın alanını iki eş bölgeye ayırır.

 

Not: Paralelkenarın köşegenleri, paralelkenarın alanını dört eş bölgeye ayırır.

 

Eşkenar Dörtgen

Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a’dır.

 

Eşkenar Dörtgenin Alanı

ABCD eşkenar dörtgeninde;
| DH | = h , | AC | = e , | BD | = f , | AB | = a ise,
A ( ABCD ) = a . h

 

Dikdörtgen

Bütün iç açıları dik açı olan paralelkenara dikdörtgen denir.

Örnek: ABCD dikdörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenler olmak üzere |AO| = (3x + 1) br, |OB| = (x + 7) br ise x değeri kaçtır ?

Çözüm; Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir ve köşegenler birbirini ortalar.
|AO| = |BO|
3x + 1 = x + 7
3x – x = 7 – 1
2x = 6
x = 3 bulunur.

Dikdörtgenin Alanı

ABCD dikdörtgeninin alanı;
A ( ABCD ) = | AD | . | AB |

 

Kare

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan dikdörtgene kare denir.

Karenin Alanı

Kenar uzunluğu a br olan karenin alanı,
A(ABCD) = a² br² dir.

Örnek: Şekilde ABCD kare, BEC bir eşkenar üçgen, [BD] köşegen olduğuna göre m(BDE) = a kaç derecedir?

Çözüm; Karede köşegen aynı zamanda açıortaydır. Bu nedenle;
m(CDB) =m (CBD) = 45° olur.

BEC bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle BEC üçgeninin kenarları eş ve bütün açılarının ölçüleri 60° dir. Buna göre |BE| = |EC| = |CD| olur.

Bu durumda CDE ikizkenar üçgendir.

Buradan m(ECD) = 150°, m(CED) = m(EDC) = 15° olur. Bu durumda m(CDB) = 45°olduğundan;

m(CDB) = m(BDE) +m(EDC)
45° = α + 15
45° – 15° = α
α = 30° bulunur.

Deltoid

Aynı tabanlı iki ikizkenar üçgenin tabanlarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgene deltoid denir. Kare ve eşkenar dörtgen birer deltoiddir.

 

Deltoidin Alanı

Deltoidin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

\( A(ABCD) = \displaystyle\frac{|AC|.|BD|}{2} \)

7. Sınıf Matematik Dörtgenler Konu Anlatımı

Merhabalar arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik dersinin 5. ünitesinde yer alan Dörtgenler konusunu anlatacağız. Bu yazıyla beraber aşağıdaki kavramları daha iyi anlayacağınızı umuyoruz.

  • Kare
  • Yamuk
  • Eşkenar Dörtgen
  • Paralel Kenar
  • Dikdörtgen

DÖRTGENLER

Yamuk

En az bir kenar çifti birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir. Yandaki ABCD dörtgeninde [AB] // [CD] olup bu dörtgen bir yamuktur. Birbirine paralel olan bu kenarlardan [AB]’na yamuğun alt tabanı, [CD]’na yamuğun üst tabanı, [AC] ve [BD]’na ABCD yamuğunun köşegenleri, [AD] ve [BC]’na ise yamuğun yan kenarları denir.

Paralel olmayan yan kenarlarının uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk, paralel olmayan yan kenarlarından biri, alt ve üst taban kenarlarına dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Yamuğun Özellikleri

•  Yamuğun alt tabanı üst tabanına paraleldir. [AB] // [CD]
  Bir yamukta bir yan kenarla tabanların oluşturduğu iç açı ölçülerinin toplamı 180º’dir.

m(A) + m(D) = 180º
x + t = 180º

m(B) + m(C) = 180º
y + z = 180º

 

Örnek;

ABCD yamuğunda [AB] // [CD], [AC] ⊥ [BC], |AD| = |DC| ve m(ADC) = 130° olduğuna göre m(ABC) = x’in kaç derece olduğunu bulalım.

Çözüm;

|AD| = |DC| olduğundan ADC ikizkenar üçgendir.
m(DAC) = m(DCA) = y diyelim.

ADC üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
m(DAC) +m(DCA) +m(ADC) = 180°

y + y + 130° = 180°
2y = 180° – 130°
2y = 50°
y = 25° olur.

[AB] // [CD] olduğundan m(DCA) =m(CAB) = 25°dir (iç ters açılar).
ABC dik üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eş olan dörtgenlere paralelkenar denir.

Bir yamuk, karşılıklı kenarları paralel olacak şekilde oluşturulduğunda bir paralelkenar elde edilir. Paralelkenarın da yamuk gibi kenar çiftlerinden en az biri paraleldir. O hâlde paralelkenar özel bir yamuktur.

Paralelkenarın özellikleri

•  Paralelkenarın karşılıklı kenarları paraleldir.
[AB] // [DC] ve [AD] // [BC]

•  Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşittir.
|AB| = |DC| ve |AD| = |BC|

•  Paralelkenarın karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir.
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

•  Paralelkenarda ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180° dir.

m(A) + m(B) = 180º
m(B) + m(C) = 180º
m(C) + m(D) = 180º
m(D) + m(A) = 180º

•  Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
|OA| = |OC| = f/2
|OB| = |OD| = e/2

 

Örnek;

ABCD yamuk ve KBCD paralelkenardır. m(DCB) = 120° ve m(DAK) = 60°
ise m(ADK) = x’in değeri kaçtır?

Çözüm;

KBCD paralelkenar olduğundan karşılıklı köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir.
m(DCB) =m(BKD) = 120° dir.

AKD açısı ile BKD açısı bütünler olduğundan
m(AKD) +m(BKD) = 180°
m(AKD) + 120° = 180°
m(AKD) = 180° – 120°
m(AKD) = 60° olur.

AKD üçgeninde
m(ADK) +m(AKD) +m(DAK) = 180°
x + 60° + 60° = 180°
x + 120° = 180°
x = 60° dir.
m(ADK) = x = 60° bulunur. Yani AKD üçgeni bir eşkenar üçgendir.

 

Dikdörtgen

İç açılarının her birinin ölçüsü 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir.

Paralelkenar, bütün iç açıları dik açı olacak şekilde oluşturulduğunda bir dikdörtgen elde edilir. Dikdörtgenin de paralelkenar gibi karşılıklı kenarları paralel ve karşılıklı iç açıları eştir. Aynı zamanda köşegenleri de birbirini ortalar.
O hâlde dikdörtgen özel bir paralelkenardır.

Her paralelkenar bir yamuk olduğundan dikdörtgen, aynı zamanda özel bir yamuktur.

Dikdörtgenin özellikleri

•  Dikdörtgenin iç açılarının her birinin ölçüsü 90° dir.
m(A) =m(B) =m(C) =m(D) = 90°

•  Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [AD]

  Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
|AB| = |CD| = a ve |BC| = |AD| = b

  Dikdörtgenin köşegen uzunlukları eşittir.
|AC| = |BD|

  Dikdörtgenin köşegenleri birbirini ortalar.
|OA| = |OB| = |OC| = |OD|

 

Örnek;

ABCD dikdörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenler olmak üzere |AO| = (3x + 1) br, |OB| = (x + 7) br ise x değeri kaçtır ?

Çözüm;

Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir ve köşegenler birbirini ortalar.
|AO| = |BO|
3x + 1 = x + 7
3x – x = 7 – 1
2x = 6
x = 3 bulunur.

Eşkenar Dörtgen

Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a’dır.

Bir paralelkenar, bütün kenar uzunlukları eşit olacak şekilde oluşturulduğunda bir eşkenar dörtgen elde edilir. Eşkenar dörtgenin de paralelkenar gibi karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve karşılıklı iç açılarının ölçüleri eşittir. Ayrıca eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar.

O hâlde eşkenar dörtgen özel bir paralelkenardır. Her paralelkenar gibi eşkenar dörtgen de özel bir yamuktur.

 

Eşkenar Dörtgenin özellikleri

  Eşkenar dörtgen, paralelkenarın bütün özelliklerini taşır.

  Eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [DA]

  Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları eşittir.
|AB| = |CD| = |BC| = |DA|

•  Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

•  Paralelkenarda olduğu gibi eşkenar dörtgende de ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180° dir.

m(A) + m(B) = 180º
m(B) + m(C) = 180º
m(C) + m(D) = 180º
m(D) + m(A) = 180º

•  Eşkenar dörtgenin köşegenleri O noktasında dik kesişir ve birbirlerini iki eşit parçaya ayırır. Bu köşegenler aynı zamanda açıortaydır.

 

[AC] ⊥ [BD]
|OA| = |OC|
|OB| = |OD|

 

 

Örnek;

ABCD bir eşkenar dörtgen, [AC] köşegen, [CE] açıortay, m(BCE) = 16° olduğuna göre m(BEC) = x kaç derecedir?

Çözüm;

m(BCE) = 16° ise m(ECA) = 16° olur.
Buradan m(BCA) = 2 · 16 = 32° dir.
Eşkenar dörgende köşegen açıortay olduğundan m(BCD) = 2 · 32° = 64° olur.
Eşkenar dörtgende ardışık iki iç açının ölçüsü toplamı 180° olduğundan;
m(ABC) +m(BCD) = 180°
m(ABC) + 64° = 180°
m(ABC) = 180° – 64°
m(ABC) = 116° olur.

EBC üçgeninde
m(BEC) +m(EBC) +m(BCE) = 180°
x + 16° + 116° = 180°
x + 132° = 180°
x = 180° – 132°
x = 48° bulunur.

 

Kare

Kenar uzunlukları eşit ve her bir iç açısı 90° olan dikdörtgene kare denir.

Dikdörtgen, bütün kenar uzunlukları eşit olacak şekilde oluşturulduğunda bir kare elde edilir. Karenin de dikdörtgen gibi karşılıklı kenarları paraleldir ve her bir açısı dik açıdır. O hâlde kare özel bir dikdörtgendir. Karenin de eşkenar dörtgen gibi her bir kenarının uzunluğu birbirine eşittir. Köşegenleri dik kesişir ve bu köşegenler birbirini ortalar. O hâlde kare aynı zamanda özel bir eşkenar dörtgendir.

Karenin özellikleri;

•  Karşılıklı kenarları paraleldir.
[AB] // [CD] ve [BC] // [DA]

•  Karenin bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir.
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = a

•  Köşegenler birbirini dik keser ve birbirini ortalar. Ayrıca köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir.
[AC] ⊥ [BD] ve |AK| = |KC| = |KD| = |KB|

•  Köşegenler aynı zamanda açıortaydır.

•  Karenin her bir açısının ölçüsü 90° dir.
m(A) =m(B) =m(C) =m(D) = 90°

 

Örnek;

Şekilde ABCD kare, BEC bir eşkenar üçgen, [BD] köşegen olduğuna göre m(BDE) = a kaç derecedir?

Çözüm;

Karede köşegen aynı zamanda açıortaydır. Bu nedenle;
m(CDB) =m (CBD) = 45° olur.

BEC bir eşkenar üçgendir. Bu nedenle BEC üçgeninin kenarları eş ve bütün açılarının ölçüleri 60° dir. Buna göre |BE| = |EC| = |CD| olur.

Bu durumda CDE ikizkenar üçgendir.

Buradan m(ECD) = 150°, m(CED) = m(EDC) = 15° olur. Bu durumda m(CDB) = 45°olduğundan;

m(CDB) = m(BDE) +m(EDC)
45° = α + 15
45° – 15° = α
α = 30° bulunur.

 

Arkadaşlar dörtgenler konumuz burada bitti 🙂 Ünitenin devamına aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz.

Çokgenler Konu Anlatımı

Eşkenar Dörtgenin Alanı Konu Anlatımı

Yamuğun Alanı Konu Anlatımı

Konuyu daha iyi kavrayabilmeniz için aşağıdaki linkten çözümlü sorulara göz atabilirsiniz.

Dörtgenler Çözümlü Sorular