Faktöriyel Konu Anlatımı

Faktöriyel Nedir? n bir pozitif tam sayı olmak üzere 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.

Faktöriyel Formülleri, 10.Sınıf Faktöriyel Çözümlü Sorular, Faktöriyel’in Sondan Kaç Basamağı 0’dır? gibi önemli konu başlıklarını da bu yazılarımız üzerinden inceleyebilirsiniz.

n! = 1.2….(n-1).(n) dir.

0! = 1 olarak kabul edilir.
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4!= 1.2.3.4 = 24
5!= 1.2.3.4.5 = 120
n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! olarak yazılabilir.

Önemli Notlar

  • 2! ve sonrasından gelen faktöriyellerin hepsi çift sayıdır.
  • 5! ve sonrasında gelen faktöriyellerin son basamağında kesinlikler 0 bulunur.
  • ”Sondan kaç basamağı sıfırdır?” ya da ”Sondan kaç basamağı 9’dur?” gibi sorularda verilen faktöryel sayısı devamlı olarak 5’e bölünür.

Soru: 47! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Cevap: Arkadaşlar, faktöriyel bir sayının sondan kaç basamağının 0 olduğunu bulmak için sayıyı 5 e bölüp, bölüm değerlerini toplamamız lazım.
Buradaki mantık sadece 47 sayısına has değildir. Tüm faktöriyel sayılar için geçerlidir.

Cevaba gelecek olursak
47 yi 5 e bölersek bölüm 9 olur, bunu bi kenarda tutalım.
9 sayısını da 5 e bölersek bölüm 1 olur.
Son durumda bölüm değeri 5 ten küçük olduğu için işlemi burada sonlandırıyoruz ve sonucu bulmak için bölümleri topluyoruz.

9 + 1 = 10 basamağı sıfırdır.

 

Örnek: ​\( \displaystyle\frac{8!-6!}{5!} \)​ işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm: ​\( \displaystyle\frac{8!-6!}{5!}= \frac{8.7.6!-6!}{5!}=\frac{6!(56-1)}{5!} \)

\( \displaystyle\frac{6.5!.5}{5!}=330 \)​ olarak sonucu buluruz.

 

Örnek: 17! sayısı tek midir, çift midir?

Çözüm: Sourdaki sayı 17 oalrak verilmiş arkadaşlar. Direk bu 17 sayısı tektir. O halde cevabımızda tektir yanılgısına düşmeyelim.

17! = 1.2.3…….16.17 şeklinde açılır. Yani 17!  açılımındaki sayıların çarpımlarında görüleeği üzere çift sayılar yer almaktadır. Bir sayısı çift sayı ile çarptığımızda sonuç daime çift olduğuna göre 17! sayısının sonucu çifttir.

Ayrıca 2! ve sonrası olan tüm faktöriyel sayıların sonucu daima çift sayıdır.

 

Örnek: (8-n)! ifadesinde n’in alabileceği kaç farklı değer vardır?

Cevap: Faktöriyel sayıları yazımızın en başında belirttiğimiz gibi sadece doğal sayılardan oluşmaktaydı. Doğal sayılarda 0 dan başladığına göre (8-n) ifadesinin sonucu 0 dan başlayarak 1, 2, 3 şeklinde devam etmelidir.

O halde n yerine gelebilecek değerler, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 8 sayılarıdır. n değeri toplamda 9 farklı değer almış olur.

 

Örnek: “ K A L E M ” kelimesindeki harflerin en fazla bir kez kullanılması koşuluyla, anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç kelime oluşturulabileceğini bulalım.

Çözüm: 1. harf için 5, 2. harf için 4, 3. harf için 3, 4. harf için 2 ve 1. harf için 1 harf kullanılabilir. Buna göre “ K A L E M ” kelimesindeki harfler ile oluşturulabilecek 5 harfli kelime sayısı,

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 olur.
Ayrıca 5 . 4 . 3 . 2 . 1 işlemi 5 ! olarak da ifade edilebilir.