11. Sınıf Aritmetik ve Geometrik Diziler Konu Anlatımı

.

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

Aritmetik Dizi

A.     TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir.

 

.
.

 

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

…………………………..

an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.

 

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

 

.
.

 

B.     ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

 

.
.

 

ÖRNEK

– 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

 

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

 

.
.

 

GEOMETRİK DİZİ

A.     TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir.

 

.
.

 

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

 

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

 

A.     GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,

a1 = a1

a2 = r.a1

a3 = r.a2 = r2.a1

a4 = r.a3 = r3.a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.

 

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

 

.
.

 

.
.

 

.
.

Üçgende Ortak Taban

1
1
1

Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paralel ve uzunluğu da bu kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.

D ve E ait oldukları kenarların orta noktaları ise;

1
1

Dikkat:

1
1

D E F ait oldukları kenarların ortak noktaları ise;

1
1

Açının düzlemde ayırdığı bölgeler, 6. Sınıf Matematik

açının dış bölgesi

Açının tanımı: Ortak uçlu iki ışının birleşmesiyle oluşan şekle açı denir.

Aşağıda gördüğünüz resimdeki AB ve BC ışınları açının kenarlarını, ortak uç B noktası ise açının köşesidir.

açı
açı

Bu açıyı

açının okunuşu
açının okunuşu

şeklinde okuruz.

Açılar düzlemi iç bölge ve dış bölge olmak üzere ikiye ayırırlar. Açının A ve C kenarları arasında kalan bölgenin tamamı açının iç bölgesini meydana getirir.

açının iç bölgesi
açının iç bölgesi

Bu bölgede yer alan herhangi bir nokta için, açının iç bölgesinde yer almaktadır deriz.

Açı ve açının iç bölgesinin dışında kalan düzlemin diğer bölgesine ise açının dış bölgesi adı verilir. Bu bölgede yer alan herhangi bir nokta için açının dış bölgesinde yer almaktadır deriz.

açının dış bölgesi
açının dış bölgesi

Son resimde verdiğimiz K ve L noktalarını inceleyin ve açının hangi bölgesinde olduğunu söyeyiniz.

Son olarak şunu söylememiz gerekir ki, açının üzerinde bulunan A,B ve C noktaları ve ya daha sonra verilecek olan açının üzerindeki herhangi bir nokta için, açının iç bölgesindedir veya açının dış bölgesindedir diyemeyiz.

 

 

Tam Sayılarda Kalansız Bölme, 7. Sınıf Matematik

kalansız bölme

İki tam sayının çarpımını ele alalım. Sözgelimi (-9)x7 yi yani (-63) ü ele alalım.

tam sayılar
tam sayılar

Tam sayılarda aynı ifadeyi kalansız bölme şeklinde şöyle yazabiliriz. (-63) / 9 = 7

tam sayılar
tam sayılar

Yukarıdaki ifadede (-63) bölünen, (-9) bölen ve 7 de bölümdür. O halde bölen x bölüm = bölünen diyebiliriz.

tam sayılar
tam sayılar

Aynı işaretli iki tam sayıyı alalım ====> a,b

İki durum vardır; ya ikisi de pozitif tam sayılardır, ya d ikisi de negatif tam sayılardır.

Eğer a ve b pozitif tam sayılarsa aynı zamanda doğal sayılar olduğunu unutmayalım. Buna göre a nın b ye kalansız bölümü yine bir doğal sayı olacağı için pozitiftir.

tam sayılar
tam sayılar

Eğer a ve b negatif tam sayılarsa ve a nın b ye kalansız bölümü c ise a sayısı bxc dir.

tam sayılar
tam sayılar

c sayısı negatif olsaydı a nın pozitif olması gerekirdi. O halde c pozitif olmalıdır.

tam sayılar
tam sayılar

Özet olarak aynı işaretli tam sayıların kalansız bölünmelerinden çıkan sonuç pozitiftir.

Şimdi ters işaretli iki tam sayıyı alalım. Örnek olarak a = pozitif, b=negatif olsun. Bu durumda a nın b ye bölümü c ye eşitse a=bxc olmalıdır.

ters işaretli sayılar
ters işaretli sayılar

a = pozitif, b = negatif olduğu için c nin negatif olması gerekir.

O halde a = pozitif, b= negatif olduğu için a nın b ye kalansız bölümü negatif olmalıdır.

Aynı şekilde a=negatif, b=pozitif iken a nın b ye kalansız bölümü negatiftir.

Böylece özet olarak ters işaretli tam sayıların kalınsız bölümünden çıkan sonucun negatif olduğunu görürüz.

a/1 = c dersek a nın cx1 yani c olduğunu görürüz. O halde bir sayının 1 e bölümü o sayının kendisidir.

kalansız bölme
kalansız bölme

 

Ardışık Sayıları Sembollerle Yazma, 6. Sınıf Matematik

ardışık

Sayı doğrusu üzerindeki sayılara bakıldığında 1 in ardışığının 2, 2 nin ardışığının 3, 3 ün ardışının da 4 olduğu görülebilir.

sayı doğrusu
sayı doğrusu

O halde iki ardışık sayı arasındaki fark 1 dir.

ardışık
ardışık

Buna göre sayı doğrusundaki sayılardan birine, örneğin 1 e, x dersek, 1 in ardışığı olan sayıyı yani 2 yi x+1 olarak gösteririz.

ardışık
ardışık

Her ardışık sayı arasındaki fark 1 olduğu için, iki ardışık sayı genel olarak x ve x+1 ile gösterilir. O halde ardışık 2 sayının toplamı, x+x+1 dir.

toplamı
toplamı

Üçüncü ardışık sayıyı yazmak istersek , bu sayı ikinciden 1 fazla olacağı için, x+1+1 yani x+2 olur.

ardisik
ardisik

O halde ardışık 3 sayının toplamı, x+x+1+x+2 dir.

ardışık
ardışık

Sayı doğrusu üzerindeki çift sayılara baktığımızda, bu sayılar arasındaki farkın 2 olduğunu görürüz.

sayı doğrusu
sayı doğrusu

Buna göre sayı doğrusundaki çift sayılardan birine, örneğin sıfıra x dersek, x ten sonra gelen ardışık çift sayıyı x in 2 fazlasıyla yani x+2 ile adlandırırız.  O halde ardışık iki çift sayının toplamı x+x+2 dir.

ardışık
ardışık

Üçüncü ardışık çift sayıyı yazmak istersek, bu sayı ikinciden 2 fazla olacağı için, x+2+2 yani x+4 olur. O halde ardışık 3 çift sayının toplamı, x+x+2+x+4 olur.

ardışık
ardışık

Yukarıda anlattığımız ardışık çift sayılarla yaptığımız işlemlerin aynısını ardışık tek sayılar ile yapabilirsiniz.

 

 

 

 

 

Cebirsel İfadeler, 6. Sınıf Matematik

cebirsel ifade

Sayı bulmaca oyununu hatırlayalım.

Aklınızdan bir sayı tutun, bu sayıyı 4 le çarpın, daha sonra 6 ile toplayın, çıkan sayıyı 2 ye bölün,

Hesapladığınız sayı verildiğinde tutulan sayıyı bulmanız gerekmektedir. Oyunu tekrar tekrar oynarsak arkadaşınızın tuttuğu sayı değiştikçe, çıkan sonuç ta değişir. Bu durumda tutulan sayı değişkendir.

değişken
değişken

Anlatılanları matematiksel ifadelere çevirmek için, değişkenleri harflerle gösteririz.

Buradaki değişkenimize x diyelim.

değişken
değişken

Sonra tutulan sayı yerine x i yazalım.

değişken
değişken

Şimdi ifadede söylenenleri seri işlemler olarak düşünelim. x’i 4 le çarpmamız, daha sonra çıkanı 6 ile toplamamız, tüm bu işlemlerin sonucunu da 2 ye bölmemiz gerekir.  Yapılan bu işlemle çıkan ifade cebirsel bir ifadedir.

cebirsel ifade
cebirsel ifade

Harfli İfadeler 7. Sınıf Matematik

binom

HARFLİ    İFADELER

HARFLİ İFADENİN DERECESİ

n8x6 y3 harfli ifadesi;
nx’ e göre 6.derecedendir.
ny’ ye göre 3.derecedendir.
nTüm harflerine göre 6+3=9 derecedendir.
n8x6 y3 harfli ifadesinin derecesi en büyük dereceli terimin derecesine eşittir.Yani 6.derecedendir.
PASCAL ÜÇGENİ
ÖMER HAYYAM ÜÇGENİ
pascal üçgeni
pascal üçgeni

Matematikçi, astronot,  filozof  ve  şair olarak bilinen

ÖMER HAYYAM

Tarihçilerin verdiği bilgiye göre Ömer Hayyam 1048 yılında Nişabur kentinde doğdu. (Doğum yılını 1044 olarak veren kaynaklar da vardır.) Asıl adı Gıyaseddin Ebu’lfeth Bin İbrahim El-Hayyam dır.
Selçuklu döneminin yetiştirdiği büyük matematikçi ve astronomlardandır. Edebiyat , tıp, tarih, hukuk ve astronomi konularında geniş bilgisiyle ünlüdür. Ancak Hayyam’ın felsefe , tasavvuf, fıkıh, tarih ve tıp konularında yazdığı bilinen bir çok yapıtı günümüze ulaşamamıştır.

BİNOM AÇILIMI Uygulama 1

binom
binom
Özellikleri
binom
binom
ÖZET
Bir harfli ifadenin katsayılar toplamı bulunurken, tüm harflerin yerine “1” yazılarak işlem yapılır.
Ör.: (a+b)2  ifadesinin katsayılar toplamını bulunuz.
a=1 ve b=1 alınır. (1+1)2 = (2)2 = 4
Ör.: (a+b)3  ifadesinin katsayılar toplamını bulunuz.
a=1 ve b=1 alınır. (1+1)3 = (2)3 = 8
Bir harfli ifadenin sabit terimi bulunurken , tüm harflerin yerine (tanımsız olmadığı durumlarda) “0” yazılarak işlem yapılır.
Ör.: (6x-5)3  ifadesinin sabit terimini bulunuz.
x =0 alınır. (6.0-5)3 = (-5)3 = -125

 

Koordinat Sisteminde Dönme, 8. Sınıf Matematik

merkezil dönme

Kartezyen Koordinat Sisteminde Dönme

 

Dönme: Dönmeyi orijinden bir iple tek noktadan bağlı bir cismin dairesel olarak orijin etrafında döndürülmesi  olarak düşünebiliriz.

Dönme yönü saat yönü veya tersi olarak gerçekleşebilir.

DÖNDÜRME: Bir şeklin bir nokta etrafında saatin yönünde veya saatin tersi yönünde döndürülmesidir. Bir şeklin etrafında döndürüldüğü noktaya dönme hareketinin merkezi denir.

Dönme hareketi bir çember hareketidir. Dönme hareketinde döndürülen şeklin biçim ve boyutu değişmez, ancak şeklin duruşu ve yeri değişir.

 

koordinat sisteminde dönme
koordinat sisteminde dönme

 

ÇEYREK DÖNME:  90 derecelik dönmeye çeyrek dönme denir.

 

çeyrek dönme
çeyrek dönme

 

MERKEZİL DÖNME: 180 derecelik dönmeye yarım dönme veya merkezil dönme denir.  180 derece döndürme ile Orijine göre SİMETRİK şekil oluştu fark ettiniz mi?

 

merkezil dönme
merkezil dönme

 

H A T I R L A T M A

 

Saat yönünün tersi yönde 90 derece = saat yönünde 270 derece