11. Sınıf Aritmetik ve Geometrik Diziler Konu Anlatımı

.

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

Aritmetik Dizi

A.     TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir.

 

.
.

 

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

…………………………..

an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.

 

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

 

.
.

 

B.     ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

 

.
.

 

ÖRNEK

– 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

 

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

 

.
.

 

GEOMETRİK DİZİ

A.     TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir.

 

.
.

 

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

 

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

 

A.     GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,

a1 = a1

a2 = r.a1

a3 = r.a2 = r2.a1

a4 = r.a3 = r3.a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.

 

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

 

.
.

 

.
.

 

.
.

Üçgende Ortak Taban

1
1
1

Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paralel ve uzunluğu da bu kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.

D ve E ait oldukları kenarların orta noktaları ise;

1
1

Dikkat:

1
1

D E F ait oldukları kenarların ortak noktaları ise;

1
1

Açının düzlemde ayırdığı bölgeler, 6. Sınıf Matematik

açının dış bölgesi

Açının tanımı: Ortak uçlu iki ışının birleşmesiyle oluşan şekle açı denir.

Aşağıda gördüğünüz resimdeki AB ve BC ışınları açının kenarlarını, ortak uç B noktası ise açının köşesidir.

açı
açı

Bu açıyı

açının okunuşu
açının okunuşu

şeklinde okuruz.

Açılar düzlemi iç bölge ve dış bölge olmak üzere ikiye ayırırlar. Açının A ve C kenarları arasında kalan bölgenin tamamı açının iç bölgesini meydana getirir.

açının iç bölgesi
açının iç bölgesi

Bu bölgede yer alan herhangi bir nokta için, açının iç bölgesinde yer almaktadır deriz.

Açı ve açının iç bölgesinin dışında kalan düzlemin diğer bölgesine ise açının dış bölgesi adı verilir. Bu bölgede yer alan herhangi bir nokta için açının dış bölgesinde yer almaktadır deriz.

açının dış bölgesi
açının dış bölgesi

Son resimde verdiğimiz K ve L noktalarını inceleyin ve açının hangi bölgesinde olduğunu söyeyiniz.

Son olarak şunu söylememiz gerekir ki, açının üzerinde bulunan A,B ve C noktaları ve ya daha sonra verilecek olan açının üzerindeki herhangi bir nokta için, açının iç bölgesindedir veya açının dış bölgesindedir diyemeyiz.

 

 

Tam Sayılarda Kalansız Bölme, 7. Sınıf Matematik

kalansız bölme

İki tam sayının çarpımını ele alalım. Sözgelimi (-9)x7 yi yani (-63) ü ele alalım.

tam sayılar
tam sayılar

Tam sayılarda aynı ifadeyi kalansız bölme şeklinde şöyle yazabiliriz. (-63) / 9 = 7

tam sayılar
tam sayılar

Yukarıdaki ifadede (-63) bölünen, (-9) bölen ve 7 de bölümdür. O halde bölen x bölüm = bölünen diyebiliriz.

tam sayılar
tam sayılar

Aynı işaretli iki tam sayıyı alalım ====> a,b

İki durum vardır; ya ikisi de pozitif tam sayılardır, ya d ikisi de negatif tam sayılardır.

Eğer a ve b pozitif tam sayılarsa aynı zamanda doğal sayılar olduğunu unutmayalım. Buna göre a nın b ye kalansız bölümü yine bir doğal sayı olacağı için pozitiftir.

tam sayılar
tam sayılar

Eğer a ve b negatif tam sayılarsa ve a nın b ye kalansız bölümü c ise a sayısı bxc dir.

tam sayılar
tam sayılar

c sayısı negatif olsaydı a nın pozitif olması gerekirdi. O halde c pozitif olmalıdır.

tam sayılar
tam sayılar

Özet olarak aynı işaretli tam sayıların kalansız bölünmelerinden çıkan sonuç pozitiftir.

Şimdi ters işaretli iki tam sayıyı alalım. Örnek olarak a = pozitif, b=negatif olsun. Bu durumda a nın b ye bölümü c ye eşitse a=bxc olmalıdır.

ters işaretli sayılar
ters işaretli sayılar

a = pozitif, b = negatif olduğu için c nin negatif olması gerekir.

O halde a = pozitif, b= negatif olduğu için a nın b ye kalansız bölümü negatif olmalıdır.

Aynı şekilde a=negatif, b=pozitif iken a nın b ye kalansız bölümü negatiftir.

Böylece özet olarak ters işaretli tam sayıların kalınsız bölümünden çıkan sonucun negatif olduğunu görürüz.

a/1 = c dersek a nın cx1 yani c olduğunu görürüz. O halde bir sayının 1 e bölümü o sayının kendisidir.

kalansız bölme
kalansız bölme