Trigonometri Formülleri

Trigonometride “Dönüşüm Formülleri, Ters Dönüşüm Formülleri, Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri, Yarım Açı Formülleri” gibi bazı özel formüller vardır. Bu yazımızda size bu özel formüllerden bahsedeceğiz arkadaşlar.

TRİGONOMETRİ FORMÜLLERİ

 

Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri;

♦  sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y

♦  cos (x + y) = cos x. cos y – sin x. sin y

♦  tan (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x + tan~y}{1- tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x+y)} \)

♦  sin (x – y) = sin x. cos y – cos x. sin y

♦  cos (x – y) = cos x. cos y + sin x. sin y

♦  tan (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x – tan~y}{1+ tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x-y)} \)

 

NOT :  a ve b reel sayılar olmak üzere ​

\( -\sqrt{a^2 + b^2}​≤a.sinx +b.cosx≤\sqrt{a^2 + b^2}​ \)olur.

 

Yarım Açı Formülleri;

♦  sin 2x = 2. sin x. cos x

♦  cos 2x = cos²x – sin²x

♦  cos 2x = 2. cos²x – 1

♦  cos 2x = 1 – 2. sin²x

♦  tan 2x  = ​\( \displaystyle\frac{2. tan x}{1 – tan^2 x} \)

 

Pisagor Formülleri;

♦  sin²x + cos²x = 1

♦  tan²x + 1 =  sec²x

♦  cot²x + 1 =  cosec²x

 

Trigonometrik Özdeşlikler;

α, 90º + α, 180º + α, 270º + α, 360º + α pozitif yönlü;

90º – α, 180º – α, 270º – α, 360º – α negatif yönlü açılardır.

 

Dönüşüm Formülleri;

♦  ​\( sin x + sin y = 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( sin x – sin y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x + cos y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x – cos y = – 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y}{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y} = tan\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y}{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y} = cot\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

Ters Dönüşüm Formülleri;

♦  ​\( cos x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) + cos (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[sin (x + y) + sin (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. sin y = – \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) – cos (x – y)] \)

 

Trigonometrik Üçgen Formülleri;

Bir üçgende iki kenar ve arasındaki açıyı bilerek, karşıdaki kenarı Kosinüs Teoremi ile hesaplayabiliriz.

a² = b² + c² – 2.b.c.cos α

 

Bir üçgende kenar ile karşısındaki açının sinüsü arasında doğru orantı vardır. Bu oran da çevrel çemberin yarıçapının 2 katıdır.

\[ \displaystyle\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

 

Üçgenin alanını hesaplarken iki kenar arasındaki açının sinüsünden faydalanabiliriz.

\[ A(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2}.b.c.sinα \]

 

Yazımız sona erdi arkadaşlar ? Formülleri pekiştireceğiniz sorular çözmek veya konu tekrar yapmak için lütfen aşağıdaki linklere tıklayın.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri
  • Yarım Açı Formülleri
  • Dönüşüm Formülleri
  • Ters Dönüşüm Formülleri
  • Pisagor Formülleri
  • Trigonometrik Denklemler

 

İKİ YAY TOPLAMININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

♦  sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y

♦  cos (x + y) = cos x. cos y – sin x. sin y

♦  tan (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x + tan~y}{1- tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x+y)} \)

 

İKİ YAY FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

♦  sin (x – y) = sin x. cos y – cos x. sin y

♦  cos (x – y) = cos x. cos y + sin x. sin y

♦  tan (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x – tan~y}{1+ tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x-y)} \)

 

NOT :  a ve b reel sayılar olmak üzere ​

\( -\sqrt{a^2 + b^2}​≤a.sinx +b.cosx≤\sqrt{a^2 + b^2}​ \)olur.

 

Örnek;

\( \displaystyle\frac{sin 48º}{sin 16º} – \frac{cos 48º}{cos 16º} \)​ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm;

\( \begin{equation}\displaystyle{\frac{sin 48º}{sin 16º}} – \frac{cos 48º}{cos 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin 48º. cos 16º – cos 48º. sin 16º}{cos 16º. sin 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin (48º – 16º)}{\displaystyle\frac{1}{2}. 2. sin 16º. cos 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{2. sin 32º}{\displaystyle{sin 32º}}\end{equation} = 2 \)​ olur.

 

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

 

♦  sin 2x = 2. sin x. cos x

♦  cos 2x = cos²x – sin²x

♦  cos 2x = 2. cos²x – 1

♦  cos 2x = 1 – 2. sin²x

♦  tan 2x  = ​\( \displaystyle\frac{2. tan x}{1 – tan^2 x} \)

 

Örnek;

3. sinx – 4. cosx = 0 olduğuna göre, |cos 2x| değeri kaçtır ?

Çözüm;

3. sinx – 4. cosx = 0 ise

3. sinx = 4. cosx olur. Buradan

3/4 = sinx/cosx = tanx ‘dir.

tanx = 3/4 ise 3- 4- 5 üçgeninden hipotenüs 5  ve cos x = 3/5 olur.

cos 2x için yarım açı formüllerinden uygularsak;

cos 2x = 2. cos² – 1

cos 2x = 2. (3/5)² – 1

cos 2x = 18/25 – 1 = -7/25

|cos 2x| = |-7/25| = 7/25 olur.

PİSAGOR FORMÜLLERİ

 

♦  sin²x + cos²x = 1

♦  tan²x + 1 =  sec²x

♦  cot²x + 1 =  cosec²x

DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

 

Toplam veya fark durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

♦  ​\( sin x + sin y = 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( sin x – sin y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x + cos y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x – cos y = – 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y}{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y} = tan\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y}{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y} = cot\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

 

TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

 

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri toplam durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

♦  ​\( cos x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) + cos (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[sin (x + y) + sin (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. sin y = – \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) – cos (x – y)] \)

 

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

 

İçinde trigonometrik ifade barındıran denklemlere trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.

NOT : Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine .., -1, 0, 1 .. gibi tam sayılar yazılarak denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden bize verilen aralıkta olanları alınır.

Trigonometrik Denklem Çeşitleri

“sin x = sin a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi sin x = sin a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x_1} \)​ = a + 360º.k = a + 2πk

\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – a + 360º.k = π- a + 2πk olur.

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Örnek; 

sin x = sin 70º ve x ∈ [0, 2π] olmak üzere x’in çözüm kümesi nedir ?

Çözüm;

\( \displaystyle{x_1} \) = 70º + 360º.k

\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – 70º + 360º.k = 110º + 360º.k

k = 0 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = 70º

\( \displaystyle{x_2} \) = 110º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığında olur.

 

k = 1 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = 430º

\( \displaystyle{x_2} \) = 470º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,   x’in aralığının dışında olur.

 

k = – 1 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = -290º

  \( \displaystyle{x_2} \) = -250º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

Bu durumda x’in çözüm kümesi {70º, 110º } olur.

“cos x = cos a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi cos x = cos a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x_1} \)​ = a + 360º.k = a + 2πk

\( \displaystyle{x_2} \) = – a + 360º.k = – a + 2πk olur.

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Örnek; 

cos 3x = sin x ve x∈ [0º, 180º] ise x’in çözüm kümesi ne olur ?

Çözüm;

Formülü uygulayabilmek için sin x ‘i kosinüs cinsinden yazalım.

cos 3x = cos ( 90º – x)

3x​ = 90º – x + 360º.k  ⇒ x = 22,5º + 90º.k

3x = – 90º + x + 360º.k ⇒ x = – 45º + 180º.k

x, [0º, 180º] aralığında olduğuna göre k’ya değerler verirsek;

k = 0  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = 22,5º

\( \displaystyle{x_2} \)= – 45º

\( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

 

k = 1  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = 112,5º

\( \displaystyle{x_2} \)= 135 º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığında olur.

 

k = – 1  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = – 67,5º

  \( \displaystyle{x_2} \)= – 225 º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

 

“tan x = tan a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi tan x = tan a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x} \)​ = a + 180º.k = a + πk

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

“cot x = cot a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi cot x = cot a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x} \)​ = a + 180º.k = a + πk

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular