11. Sınıf Determinantlar Konu Anlatımı

.

DETERMİNANTLAR

 

.
.

 

.
.

 

.
.

 

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)

 

Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, aij elemanının Minör’ü denir ve Mij ile gösterilir.

 

.
.

 

Tanım: 3×3 türünden bütün matrislerin kümesi  M3 olsun.

 

.
.

 

DETERMİNANT FONKSİYONU

 

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi  olsun.

 

.
.

 

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ

 

1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.

 

.
.

 

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

 

.
.

 

determinantı verilmiş olsun. Bu  determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, IAI=0 dır.

 

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.

 

.
.

 

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

 

.
.

 

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

 

.
.

 

6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

 

.
.

 

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

 

.
.

 

8)  Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

 

.
.

 

9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam  sıfır olur.

3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.

 

.
.

Ondalık Sayıların Okunuşu

.
.
.

– Beş yüz iki tam yüzde yedi
– Kırk beş tam binde kırk beş
– Bin iki yüz elli iki tam yüzde iki
– Üç tam binde üç yüz on altı
– Yirmi tam onda sekiz
– İki yüz yirmi altı tam binde yirmi altı
– Kırk beş tam on binde yirmi dört
– İki bin üç yüz yirmi tam yüzde yirmi üç
– On beş tam yüzde on beş
– On beş tam binde on beş

 

325,016 Üç yüz yirmi beş tam binde on altı
12,456 ……………………………………………………………………
405,05 ……………………………………………………………………
5,75 ……………………………………………………………………
12,456 ……………………………………………………………………
78,0082 ……………………………………………………………………
13,012 ……………………………………………………………………

 

Ondalık Kesirlerin Ondalık Sayı Olarak Yazılması:

 

.
.

 

Ondalık Sayıların Ondalık Kesir Olarak Yazılması:

 

.
.

 

Santimetreden (cm) Metreye (m):

 

.
.

486 cm = ……… m = ……… m

3240 cm = ……… m = ……… m

473 cm = ……… m = ……… m

 

 

Matrisler – 11. Sınıf Matematik

.

Şekildeki gibi bir cismin elemanlarından oluşan sıralı tabloya m x n tipinde bir matris denir.

 

.
.

 

i= 1,2,3, .. , m ve j = 1,2,3, … , n olmak üzere,

A = [aij ]şeklinde ifade edilir. Burada i, satır indisini; j;ise sütun indisini  belirtmektedir.

aij elemanı; A matrisinin i. satırı ile j. sütununun kesiştiği yerdeki elemanıdır.

 

matrisler
matrisler

 

.
.

 

MATRİS ÇEŞİTLERİ

 

1-SIFIR MATRİSİ:

 

Bütün elemanları 0 olan matrislerdir.

 

sıfır matrisi
sıfır matrisi

 

2-KARE MATRİSİ:

 

Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere denir.

 

.
.

 

Kare matrisinde a11, a22,,,,,,ann elemanlarının bulunduğu köşegene asal köşegen denir.

 

.
.

 

3-KÖŞEGEN (DİAGONAL) MATRİS:

 

Asal köşegeni dışındaki bütün elemanları 0 olan matrislere denir.

 

.
.

 

4-BİRİM MATRİS: :

 

Asal köşegeni üzerindeki elemanlar 1, diğer elemanları 0 olan kare matrislere birim matris  denir. Imxn= In ile gösterilir.

 

.
.

 

BİR MATRİSİN BİR SAYI İLE ÇARPIMI

 

.
.

 

Bir matrisi bir sayı ile çarpmak matrisin her elemanını bu sayıyla çarpmak demektir

 

.
.

 

UYARI:

 

1)    Bir matrisin (-1) ile çarpımı yapıldığında bu matrisin toplama işlemine göre tersi elde edilir.

(-1).A=-A

 

2)    Bir matrisin 0 ile çarpımı sıfır matrisidir

 

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

 

A ve B aynı türden iki matris olmak üzere, A + B, A  ve B matrislerinin karşılıklı elemanlarının toplamı ile elde edilen matristir.

 

.
.

 

İKİ MATRİS ÇARPIMI

 

TANIM:

m x n türünden A= [ aij]mxn matrisi ile n x p türünden  B = [ bij]nxp matrisi verilmiş olsun. A matrisi ile B matrisinin çarpımı AB ile gösterilir. A matrisinin her satırı ile B matrisinin her sütunu çarpılarak AB çarpım matrisi elde edilir. sayısı A’nın satır sayısına; AB matrisinin sütun sayısı AB çarpım matrisi mxp türündedir. (AB matrisinin satır da B’nin sütun sayısına eşittir.)

 

.
.

 

Çarpma işleminin Özellikleri

A, B ve C, çarpımı yapılabilen matrisler  ve k Î R

1) k•(A) = (k.B).A = A.(k.B)

2) c.(A + B) =cA + c.B

3) (A + B).C = A.C + B.C

4) I.A=A

5) In = I (Birim matrisin bütün kuvvetleri kendisine eşittir.)

6) A ve B birbirinden ve birim matristen farklı olmak üzere, A .B¹ B.A dır.

7) A.B = 0 olması, A nın veya B nin sıfır matrisi olmasını  gerektirmez.

 

3. Sınıf Sıvıları Ölçme

.

Bu konumuzda hep birlikte sıvıları ölçmeyi öğreneceğiz.

 

İlk olarak sizlerden şu soruya cevap vermenizi istiyorum. Su, süt, zeytinyağı ve benzin gibi sıvıları ölçmek için ne kullanırız biliyor musunuz?

 

sıvıları ölçme 3. Sınıf
sıvıları ölçme 3. Sınıf

 

Evet. Hepinizin sıvıları “litre” ile ölçeriz cevabını duyuyorum. Litre kısaca “L” harfi ile gösterilir.

 

Bu dersi öğrendikten sonra evdeki suların, sıvı yağların ve kolaların kaç litre olduğuna bakıp öğrenmenizi istiyorum.

 

1 L = 2 yarım litre

 

litre
litre

 

Soru: 3 litre kaç tane yarım litre eder?

Cevap: 3 litre 6 tane yarım litre eder.

 

Aşağıdaki alıştırmaları yukarıdaki örnek gibi defterimize yapalım.

 

.
.