11. Sınıf Determinantlar Konu Anlatımı

.

DETERMİNANTLAR

 

.
.

 

.
.

 

.
.

 

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)

 

Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, aij elemanının Minör’ü denir ve Mij ile gösterilir.

 

.
.

 

Tanım: 3×3 türünden bütün matrislerin kümesi  M3 olsun.

 

.
.

 

DETERMİNANT FONKSİYONU

 

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi  olsun.

 

.
.

 

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ

 

1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.

 

.
.

 

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

 

.
.

 

determinantı verilmiş olsun. Bu  determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, IAI=0 dır.

 

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.

 

.
.

 

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

 

.
.

 

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

 

.
.

 

6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

 

.
.

 

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

 

.
.

 

8)  Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

 

.
.

 

9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam  sıfır olur.

3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.

 

.
.

Ondalık Sayıların Okunuşu

.
.
.

– Beş yüz iki tam yüzde yedi
– Kırk beş tam binde kırk beş
– Bin iki yüz elli iki tam yüzde iki
– Üç tam binde üç yüz on altı
– Yirmi tam onda sekiz
– İki yüz yirmi altı tam binde yirmi altı
– Kırk beş tam on binde yirmi dört
– İki bin üç yüz yirmi tam yüzde yirmi üç
– On beş tam yüzde on beş
– On beş tam binde on beş

 

325,016 Üç yüz yirmi beş tam binde on altı
12,456 ……………………………………………………………………
405,05 ……………………………………………………………………
5,75 ……………………………………………………………………
12,456 ……………………………………………………………………
78,0082 ……………………………………………………………………
13,012 ……………………………………………………………………

 

Ondalık Kesirlerin Ondalık Sayı Olarak Yazılması:

 

.
.

 

Ondalık Sayıların Ondalık Kesir Olarak Yazılması:

 

.
.

 

Santimetreden (cm) Metreye (m):

 

.
.

486 cm = ……… m = ……… m

3240 cm = ……… m = ……… m

473 cm = ……… m = ……… m

 

 

Matrisler – 11. Sınıf Matematik

.

Şekildeki gibi bir cismin elemanlarından oluşan sıralı tabloya m x n tipinde bir matris denir.

 

.
.

 

i= 1,2,3, .. , m ve j = 1,2,3, … , n olmak üzere,

A = [aij ]şeklinde ifade edilir. Burada i, satır indisini; j;ise sütun indisini  belirtmektedir.

aij elemanı; A matrisinin i. satırı ile j. sütununun kesiştiği yerdeki elemanıdır.

 

matrisler
matrisler

 

.
.

 

MATRİS ÇEŞİTLERİ

 

1-SIFIR MATRİSİ:

 

Bütün elemanları 0 olan matrislerdir.

 

sıfır matrisi
sıfır matrisi

 

2-KARE MATRİSİ:

 

Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere denir.

 

.
.

 

Kare matrisinde a11, a22,,,,,,ann elemanlarının bulunduğu köşegene asal köşegen denir.

 

.
.

 

3-KÖŞEGEN (DİAGONAL) MATRİS:

 

Asal köşegeni dışındaki bütün elemanları 0 olan matrislere denir.

 

.
.

 

4-BİRİM MATRİS: :

 

Asal köşegeni üzerindeki elemanlar 1, diğer elemanları 0 olan kare matrislere birim matris  denir. Imxn= In ile gösterilir.

 

.
.

 

BİR MATRİSİN BİR SAYI İLE ÇARPIMI

 

.
.

 

Bir matrisi bir sayı ile çarpmak matrisin her elemanını bu sayıyla çarpmak demektir

 

.
.

 

UYARI:

 

1)    Bir matrisin (-1) ile çarpımı yapıldığında bu matrisin toplama işlemine göre tersi elde edilir.

(-1).A=-A

 

2)    Bir matrisin 0 ile çarpımı sıfır matrisidir

 

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

 

A ve B aynı türden iki matris olmak üzere, A + B, A  ve B matrislerinin karşılıklı elemanlarının toplamı ile elde edilen matristir.

 

.
.

 

İKİ MATRİS ÇARPIMI

 

TANIM:

m x n türünden A= [ aij]mxn matrisi ile n x p türünden  B = [ bij]nxp matrisi verilmiş olsun. A matrisi ile B matrisinin çarpımı AB ile gösterilir. A matrisinin her satırı ile B matrisinin her sütunu çarpılarak AB çarpım matrisi elde edilir. sayısı A’nın satır sayısına; AB matrisinin sütun sayısı AB çarpım matrisi mxp türündedir. (AB matrisinin satır da B’nin sütun sayısına eşittir.)

 

.
.

 

Çarpma işleminin Özellikleri

A, B ve C, çarpımı yapılabilen matrisler  ve k Î R

1) k•(A) = (k.B).A = A.(k.B)

2) c.(A + B) =cA + c.B

3) (A + B).C = A.C + B.C

4) I.A=A

5) In = I (Birim matrisin bütün kuvvetleri kendisine eşittir.)

6) A ve B birbirinden ve birim matristen farklı olmak üzere, A .B¹ B.A dır.

7) A.B = 0 olması, A nın veya B nin sıfır matrisi olmasını  gerektirmez.

 

3. Sınıf Sıvıları Ölçme

.

Bu konumuzda hep birlikte sıvıları ölçmeyi öğreneceğiz.

 

İlk olarak sizlerden şu soruya cevap vermenizi istiyorum. Su, süt, zeytinyağı ve benzin gibi sıvıları ölçmek için ne kullanırız biliyor musunuz?

 

sıvıları ölçme 3. Sınıf
sıvıları ölçme 3. Sınıf

 

Evet. Hepinizin sıvıları “litre” ile ölçeriz cevabını duyuyorum. Litre kısaca “L” harfi ile gösterilir.

 

Bu dersi öğrendikten sonra evdeki suların, sıvı yağların ve kolaların kaç litre olduğuna bakıp öğrenmenizi istiyorum.

 

1 L = 2 yarım litre

 

litre
litre

 

Soru: 3 litre kaç tane yarım litre eder?

Cevap: 3 litre 6 tane yarım litre eder.

 

Aşağıdaki alıştırmaları yukarıdaki örnek gibi defterimize yapalım.

 

.
.

 

Kısa Yoldan Çarpma İşlemi, 3. Sınıf Matematik

.
  • Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. Alıştırmaları örneğe uygun olarak yapınız.

 

.
.

 

.
.

 

1. Aşağıdaki alıştırmaları yukarıdaki örneklere uygun olarak kısa yoldan yapınız.

 

.
.

 

10 x 14 = .140..             10 x 49 = …….              10 x 80 = …….               10 x 6 = ……..

 

75 x 10 = …….             10 x 30 = …..                 10 x 324 = ……..                    10 x 10 = ……..

 

10 x 60 = ……              10 x 845 = ……..                      10 x 50 = …….                     76 x 10 = ………

 

63 x 10 = ……              476 x 10 = …….            57 x 10 = ……..              330 x 10 = …….

 

600 x 10 = ……            100 x 10 = …….             10 x 800 = ……                    168 x 10 = …….

 

15 x 20 = …….             36 x 40 = …….               60 x 23 = ………         50 x 40 = …….

 

65 x 80 = ……              85 x 30 = …….                30 x 30 = ……..                    70 x 14 = …….

3. Sınıf Matematik Tartma

.

.

.

 

3.SINIF TARTMA

 

Çocuklar! Evde okulda veya dışarıda neleri kaldırabilirsiniz, neleri kaldıramazsınız??? Hiç düşündünüz mü?

 

Kilogram nerelerde kullanılır?, gram nerelerde kullanılır?

 

Kısaltmalar

 

Kilogram: kg

Gram:  gr

 

1 kilogram: 1000 gram

1 kg: 1000 gr

 

Şimdi Aşağıdaki alıştırmaları yapın:

2  Yarım kg= ……….kg
6 Yarım kg=……….. kg
12 yarım kg=…….. kg
20 yarım kg= …….  kg
18 yarım kg =……. .kg
8 yarım kg =……… kg
4 çeyrek kg=……. .kg
16 çeyrek kg=…… kg
24 çeyrek kg=…… kg
36 çeyrek kg=……. kg
84 çeyrek kg =……. Kg
1kg =……….. yarım kg
4kg=……….yarım kg
3kg= ……..yarım kg
6 kg= …….yarım kg
9kg=…….yarım kg
1kg=…….çeyrek kg
kg=…….çeyrek kg
5kg=……..çeyrek kg
8 kg= ……..çeyrek kg
1kg= ……..çeyrek kg
500 g + 150 g + …100 g… = 750 g
500 g + ………….. g = 1000 g
250 g + …………… g = 500 g
750 g + ………….. g = 1000 g
50 g + 50 g + 350 g + ………… g = 500 g
12kg=…………tane 500 gram
3kg =………….. tane500gram
4kg= …………… tane.500 gram
5kg=…………….. tane .500 gram
1kg=…………….. tane 500 gram
8kg=……………. tane 500 gram
2kg =…………….tane 250 gram
3kg=……………….tane 250 gram
8kg=………………tane 250 gram
12 kg=……………tane 250 gram
5 kg=……………..tane 250 gram
1kg= ……………..tane 100 gram
2kg ………………tane 100 gram
3 kg=…………….tane 100 gram
4 kg=………………tane 100 gram

1-Kilosu 6 tl olan muzdan 250 gram aldım.Kaç kuruş öderim?(…………..)
2-Kilosu 12 tl olan cevizden 250 gram aldım.Kaç lira öderim? (…………… )

 

3. Sınıf Uzunluk Ölçüleri – Konu Anlatımı

.

UZUNLUK ÖLÇÜLERİ

 

Uzunluk ölçülerinde temel ölçme birimi metredir. Kısaca “m” ile gösterilir.

 

Bazı uzunluk ölçüleri santimetre ile gösterilir. Santimetrenin kısa yazılışı “cm” şeklindedir.

 

Aşağıdaki cetvelde 1 den 10 a kadar olan sayıları göreceksiniz. Bu cetvel üzerinde metre ile santimetre arasındaki ilişkiyi öğreneceğiz.

.
.

Her sayı arasındaki uzunluk 1 santimetredir. 0 ve 1 arası 1 cm olduğu gibi 0 ve 10 arası da 10 cm dir. Bu cetvelden 10 tanesi yan yana geldiğinde 1 metre oluşacaktır.

 

Şimdi kendimize bir formul oluşturabiliriz.

 

1 m = 100 cm

 

Yukarıdaki formülden hemen şunu farketmeliyiz. Metreyi santimetreye çevirirken sayının yayına iki sıfır ekliyoruz.

 

.
.

 

Şimdi sıra sizde,  3  metre kaç santimetre eder?

 

Şimdi de santimetreyi metreye dönüştürmeyi öğrenelim. Yukarıda yaptığımız işlemin tam tersini düşünürsek bu işlemi kolayca yapabiliriz. Yani santimetreden iki sıfır silersek metreye dönüştürmüş oluruz.

 

.
.

 

Şimdi yine sıra size;  500 santimetreyi metreye çevirin.

 

7000 cm yi metreye çevirmek istersek;

 

7000 cm de üç tane sıfır olsa bile biz kural olarak iki sıfır silineceğini öğrenmiştik. İki sıfırı sildiğimizde 70 m olduğunu görürüz.

 

Şimdi de 670 santimetreyi metreye çevirelim mi?

Gördüğünüz gibi 670 sayısında bir tane sıfır var. Santimetreyi metreye çevirmek için iki sıfır silmem gerekiyor. Peki şimdi ne yapacağım?

670 sayısını  600 + 70 şeklinde yazabilir miyim? Evet..

Öyleyse 600 den iki sıfır attığımda 6 kalır ve sayıyı şöyle yazarım;

 

670 cm =  6 m 70 cm

 

Kısa yoldan da şöyle yapabiliriz.

67o santimetreyi metreye çevirmek için iki sıfır silmem gerekiyordu. Fakat sayıda iki sıfır olmadığı için ben de silmem gereken sıfırların yerine oraya virgül “,” koyarım ve orayı metre olarak gerisini de santimetre olarak okuyabilirim.

 

670 cm =  6,70 m

 

Aşağıdaki örnekleri inceleyin

.
.

 

Aşağıdaki alıştırmaları çözerek konuyu anlayıp anlamadığınızı kontrol edebilirsiniz.

.
.

 

Problem

 

Onur’un boyu 133 cm dir. Onur’un boyunun 1 m 65 cm olması için kaç santimetre uzaması gerekir?

 

Çözüm: Bu problemi çözmek için verilen her iki sayıyı da aynı uzunluk ölçü birimine çevirmemiz gerekir. Yani 1 m 65 cm yi metreye çevirip 133 cm ile aynı uzunluk ölçüsü olmasını sağlayacağız.

Yukarıda öğrendiğimiz gibi 1 metre = 100 cm olduğuna göre yanındaki 65 i de eklersek;

1 m 65 cm =  165 cm eder.

 

Şimdi Onur’un 133 cm den 165 cm ye uzaması için kaç cm gerektiğini bulmam gerekiyor. Bunu da aradaki farkı bularak yapabiliriz. Farkı bulabilmek için çıkarma işlemi yapmam gerek.

165 ten 133 ü çıkartırsak Onur’un kaç cm daha uzaması gerektiğini buluruz.

 

165 – 133 = 32 cm ( Onur’un 32 cm daha uzaması gerekmektedir.)

 

 

 

 

Doğal Sayılarla Çarpma İşlemi, 3 Sınıf Matematik

.

Aşağıdaki çarpım tablosunu  tamamlayıp , nasıl tamamlandığını inceleyiniz ve  altta istenen  çarpma  işlemlerini , tabloya bakarak yapınız.

 

Çarpım  Tablosunu  Oluşturma

 

.
.

 

NOT : Tablodaki boşlukları ritmik sayarak doldurabiliriz.

 

Alıştırma  : Altta istenen  çarpma  işlemlerini , tabloya bakarak yapınız.

7 x  3  =  21 ( yan yana  çarpma )

( 7 kere 3  ; 21 eder )

 

.
.

 

3 + 3+ 3 + 3 + 3  + 3 + 3   =   7 x 3

6  x 5  =  … 30….

9  x  8  = ………

 

Şimdi sıra sizde : Aşağıdaki çarpma  işlemlerini , tabloya bakarak yapınız.

 

A )     9  x 7  =  ??

B )    7 X  8 =  ??

C )    8 X  6  =  ??

D )    10  X   10  =  ??

E )    5 X 0  = ??

F )    4 X  8 = ??

G )   6  X  7  =  ??