Trigonometrik Yarım Açı Formülleri

Trigonometride “Dönüşüm Formülleri, Ters Dönüşüm Formülleri, İki Yayın Toplamının ve Farkının Oranları, Yarım Açı Formülleri” gibi bazı özel formüller vardır. Bu yazımızda bunlar “Yarım Açı Formülleri”ni bulacaksınız.

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

 

Yarım açı formüllerini anlamak için öncelikle trigonometrik oranları bilmek gerekir.

 

 

Yarım açı formülleri trigonometrik toplam – fark formüllerinden türetilir. Bu formüller için buradan yazımıza bakabilirsiniz.

Yarım Açı Formülleri;

1.   sin 2x = 2 sinx. cosx

2.  cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1  = 1 – 2sin2

3.  ​\( tan 2x = \displaystyle\frac{2 tan x}{(1 – tan² x)} = \displaystyle\frac{ 2}{(cot x – tan x)} \)

4.  ​\( cot 2x = \displaystyle\frac{(cot^2 x – 1) }{2 cot x} = \frac{(cot x – tan x )} {2} \)

5. \( cos^2 x = \displaystyle\frac{1 }{2. (1 + cos 2x)} \)

6.  ​\( sin^2 x = \displaystyle\frac{1 }{ 2. (1 – cos 2x)} \)

7.  ​\( tan^2 x = \displaystyle\frac{(1 – cos 2x )}{(1 + cos 2x)} \)

8.  ​\( cot^2 x = \displaystyle\frac{(1 + cos 2x)}{(1 – cos 2x)} \)

9.  ​\( sin (\displaystyle\frac{1}{2}) x = ± \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2.(1 – cos x)}} \)

10. \( cos (\displaystyle\frac{1}{2}) x = ± \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2. (1 + cos x)}} \)

11. \( tan (\displaystyle\frac{1}{2}) x = ± \sqrt{\left(\frac{1 – cos x}{ 1 + cos x }\right)} = \frac{sin x }{ (1 + cos x)} = \frac{(1 – cos x) }{ sin x} \)

 

Örnek; 

 (sin35. cos35)/cos20 işleminin sonucu kaçtır ? 

Çözüm; 

Sorumuzu çözmek için soruda verilen eşitliği sin2x = 2sinx.cosx eşitliğine benzetebiliriz.

(sin35.  cos35)/ cos20 = 2. (sin35. cos35)/ 2.cos20 

= sin(2. 35)/2. sin70

= sin70/ 2. Sin70

= 1/2

 

Örnek; 

(1 + cos2x)/sin2x  ifadesinin en sade biçimi nedir ?

Çözüm; 

cos2x = 2cos²x  – 1  ve sin2x = 2.sinx.cosx olduğuna göre;

(1 + 2cos²x  – 1 )/ 2.sinx.cosx  olur.

2cos²x /2.sinx.cosx  = cos²x/ sinx. cosx = cosx/sinx = cotx

 

Bazı Yarım Açı Formüllerinin Açılımı; 

 

1. sin2x = 2sinx.cosx

sin(x + y) = sinx. cosy + cosx. siny,  eşitliğinde y yerine x yazarsak,

sin(x + x) = sinx. cosx + cosx. sinx

sin2x = 2sinx. cosx olur.

 

2. cos2x = cos2x – sin2x 

I. eşitlik :

cos(x + y) = cosx. cosy – sinx. siny,  eşitliğinde y yerine x yazarsak,

cos(x + x) = cosx.cosx – sinx.sinx

cos2x = cos2x – sin2x

II. eşitlik : 

sin2x = 1 – cos2x olduğundan,

cos2x = cos2x – (1 – cos2x)

cos2x = cos2x – 1 + cos2x =  2cos2x – 1

III. eşitlik : 

cos2x = 1 – sin2x olduğundan,

cos2x = cos2x – sin2x = (1 – sin2x) – sin2x

cos2x = 1 – 2sin2x

 

3. tan 2x = 2 tan x / 1 – tan² x = 2 / cot x – tan x

tan 2x = tan(x + x)

= (tan x + tan x)/(1 – tan x. tan x)

= 2tan x / (1 – tan²x) olur.

 

Yazımız sona erdi arkadaşlar 🙂 Formülleri pekiştireceğiniz sorular çözmek veya konu tekrar yapmak için lütfen aşağıdaki linklere tıklayın.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.