Üçgende Alan Formülleri ve Bağıntıları

Arkadaşlar bu konumuzda Üçgende Alan Formülleri ve Üçgende Alan Formülü Bağıntılarından bahsedeceğiz. Bu formülleri TYT sınavlarınızda da kullanabilirsiniz.

Bir üçgende herhangi bir köşeden karşısındaki kenara indirilen dikmeye yükseklik denir.

Yüksekliği ve kenar uzunluğu bilinen üçgenin alanı (Genel Alan Bağıntısı);

Üçgenin alanı, yüksekliğin indirildiği kenar ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Üçgenin alanını hesaplamak için en sık kullanılan formül budur.

! Hangi kenar ile o kenara ait yükseklik kullanılırsa kullanılsın, alan hep aynıdır.

A, B, C: köşe

a (|BC|), b(|AC|), c(|AB|): kenar

h: yükseklik

NOT:

Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. Yani alan hesaplaması yapılmak istenen geniş açılı bir üçgen ise yükseklik aşağıdaki gibi üçgenin dışından alınır.

Bazı özel üçgenlerde (ikizkenar üçgen vb.) yükseklik bilgisi verilmeyebilir. Bu tür durumlarda öncelikle yüksekliği bulmamız gerekir. Yüksekliği bulurken ise “Pisagor bağıntısından” yararlanılır.

Pisagor bağıntısına göre; bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenar uzunluğunun karelerinin toplamına eşittir.

a² + b² = c²

Hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki en uzun kenardır.

 

 

Eşkenar üçgenin alanı;

Eşkenar üçgen gibi özel üçgenlerde yukarıda verilen genel üçgende alan formülü yerine bazı özel formüller kullanırız. Bunun sebebi eşkenar üçgenin üç kenar uzunluğu eşit olduğu için, bu üç kenara ait yüksekliklerin uzunluğunun da eşit olmasıdır. Aynı zamanda kenar uzunluğu ile yüksekliği arasında da sabit bir oran vardır. Bu nedenle sadece bir kenarı bilinen bir eşkenar üçgenin alanı rahatlıkla bulunabilir.

NOT: Özel üçgenlerden olan “30 – 30 – 120” üçgeninin alanı eşkenar üçgenin alanı gibi hesaplanır. 30 derecelik açının karşısındaki kenarlara a dersek; yükseklik a/2 ve yüksekliğin indirildiği kenarın uzunluğu a√3 olur. Yükseklik çarpı taban uzunluğu bölü ikiden;

İki kenarının uzunluğu ve bir açısı bilinen üçgenin alanı;

Üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgenin alanı;

Üç kenar uzunluğu genellikle çeşitkenar üçgenlerin alan hesaplaması istenirken verilir. Bu tür sorularda herhangi bir yükseklik bilgisi verilmez ve kenar uzunlukları ile alanın hesaplanması istenir. Üçgenin alanını hesaplayabilmek için öncelikle;

  • Üçgenin çevresi bulunur. ( Çevre(ABC))
  • Bulunan çevre 2 ye bölünür. (bir “u” değeri bulunur)
  • Ve aşağıdaki alan formülü ile üçgenin alan bilgisi hesaplanır. 🙂

Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı bilinen bir üçgenin alanı;

NOT :

Bir üçgende iç teğet çemberin yarıçapı r ve kenar yükseklikleri arasında;

şeklinde bir ilişki vardır.

 

Çevresel çemberin yarıçapı ve  ve kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanı;

 

Dik üçgenin alanı;

  • Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

  • Bir dik üçgenin iç teğet çemberinin hipotenüs üzerinde ayırdığı parça uzunlukları m ve n ise alanı m.n ile bulunur.

  • Özel dik üçgenlerden olan 15 – 75 – 90 üçgeninde dik açıdan indirilen yükseklik, hipotenüs uzunluğunun ¼ ‘ne eşittir.

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanı;

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı, yüksekliğin indirildiği tabanların uzunlukları oranına eşittir.

! ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre yükseklikleri eşittir.

Taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanı;

Tabanları eşit olan üçgenlerin alanlarının oranı, eşit olan taban uzunluklarına ait yüksekliklerinin oranına eşittir.

! ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır.

Tabanları eşit, yükseklikleri farklı iki üçgenin alanları arasında kalan ve taralı olarak gösterilen bölgenin alanı sorulduğunda ise aşağıdaki gibi alan hesaplaması yapılır.

Eşit kenarlı üçgenlerin (Benzer üçgenlerin) alanı;

Bir üçgende birbiriyle ve tabanıyla paralel olan ve kestikleri kenarları kendi aralarında eşit uzunluklara bölen doğrular, üçgeni orantılı bir şekilde alanlara ayırır. Bu paralel doğrular arasında kalan bölgelerin alanları tek sayılar ile doğru orantılı bir biçimdedir. Bu durumun oluşmasının temel nedeni benzerliktir.

 

Paralel iki doğru arasındaki üçgenin alanı;

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, köşeleri bu doğrular üzerinde olacak şekilde çizilen tüm üçgenlerin yüksekliğidir. Bu durumda şekilde tepe noktası d1 doğrusu üzerinde, bir A noktası olan üçgen için; A noktası nerede olursa olsun (D, E noktaları gibi) taban olan [BC] hiç değişmediği ve yükseklik hep aynı kaldığı için oluşan üçgenlerin alanları eşittir.

 

Açıortayın oluşturduğu üçgenin alanı;

Üçgenin bir köşesinden çizilen açıortayın üçgeni böldüğü alanların oranı, bu açıortayın bulunduğu köşeye komşu olan kenarların oranına eşittir.

Kenarortay kullanarak üçgenin alanı;

Kenarortay uzunlukları verilen üçgenlerde alan hesabı yaparken kullanılan formüle “Heron Formülü” denilir. Kenarortaylı Heron formülü gereği;

Kenarortayların oluşturduğu alanlar;

 

Kenar uzunluklarına göre üçgenin alanı;

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.