Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Konu Anlatımı, Pdf ders notları ile ilgili yazılarımız genellikle 7. sınıf, 8. sınıf, 9. sınıf ile tyt, lgs, kpss sınavlarında çokca çıkan bir konudur. Konu anlatımını çözümlü örnek sorular ile destekli olacak şekilde hazırladık arkadaşlar.
Üçgenlerde Eşlik
1) İki üçgenin köşeleri arasında bire bir eşleme yapıldığında karşılıklı açılar ve karşılıklı kenarlar eş ise bu üçgenlere eş üçgenler denir.
Eşlik \( \cong \) sembolü ile gösterilir.
A \( \cong \) D, B \( \cong \) E, C \( \cong \) F
[AB] \( \cong \) [DE], [BC] \( \cong \) [EF],
[AC] \( \cong \) [DF] ise ABC \( \cong \) DEF olur.
2) İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı ikişer kenar ve bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise bu iki üçgen birbirine eşittir. Bu eşliğe, Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.) eşlik kuralı denir.
[AB] \( \cong \) [DE]
[BC] \( \cong \) [EF]
B \( \cong \) E ise ABC \( \cong \) DEF olur.
Örnek: Aşağıdaki şekilde [CE] açıortay, |BC| = 12 cm, |AE| = 5 cm,
|AC| = |CD| = 7 cm ve |ED| = 10 cm olduğuna göre |AB| = x in
kaç cm olduğunu bulunuz.
Cevap: |EC| = |AC| + |AE|
= 7 + 5
|EC| = 12 cm olur. [EC] açıortay olduğundan m(BCA) = m(ECD) olur.
O hâlde;
|AC| = |DC|
m(BCA) = m(ECD)
|BC| = |EC| ise
[AC] \( \cong \) [DC]
BCA \( \cong \) ECD
[BC] \( \cong \) [EC] olduğundan ABC \( \cong \) DEC olur (K.A.K. eşlik kuralı).
Eş üçgenlerin diğer kenar ve açıları da eştir. Bu durumda [DE] \( \cong \) [AB] olur. O hâlde |DE| = |AB| = x = 10 cm bulunur.
3) İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı iki açı eş ve bu eş açılar arasında kalan kenarlar da eş ise bu iki üçgen eştir. Buna Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) eşlik kuralı denir.
A \( \cong \) D
[AB] \( \cong \) [DE]
B \( \cong \) E olduğundan K.A.K eşlik kuralına göre ABC \( \cong \) DEF olur.
Örnek: Aşağıdaki şekilde m(ABC) = m(DFE), m(ACB) = m(EDF), |BD| = |CF| dur. |AC| = 4x – 3 br, |DE| = 3x + 7 br olduğuna göre x değerini bulalım.
Cevap: m(ABC) = m(DFE) ise ABC \( \cong \) DFE
m(ACB) = m(EDF) ise ACB \( \cong \) EDF
|BC| = |BD| + |DC|
|DF| = |CF| + |DC| olur. |BD| = |CF| olduğundan |BC| = |DF| olur.
Bu durum da ABC \( \cong \) EFD dir (A.K.A. eşlik kuralı). Buradan
|AC| = |DE| olur. |AC| = |DE| ise 4x – 3 = 3x + 7
4x – 3x = 7 + 3
x = 10 br bulunur.
4) İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı kenarlar eş ise bu iki üçgen eştir. Buna Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K.) eşlik kuralı denir
[AB] \( \cong \) [DE]
[AC] \( \cong \) [DF]
[BC] \( \cong \) [EF] olduğundan ABC \( \cong \) DEF olur (K.K.K. eşlik kuralı).
5) Eş üçgenlerde karşılıklı kenarortaylar da eştir.
Aşağıdaki şekilde ABC \( \cong \) DEF ve
[AK] ile [DL] kenarortay ise [AK] \( \cong \) [DL] olur.
6) Eş üçgenlerde karşılıklı yükseklikler de eştir.
Aşağıdaki şekilde;
ABC \( \cong \) DEF, [AH] = [BC],
[DK] = [EF] ise [AH] \( \cong \) [DK] olur.
Üçgenlerde Benzerlik
1) İki üçgenin karşılıklı köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı iki kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu iki üçgen benzerdir. Buna Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.) benzerlik kuralı denir.
Örnek: Aşağıdaki şekilde m(AB†C) = m(AC†D), |AB| = 3 cm, |BC| = 2 cm, |AC| = 4 cm, |CD| = 6 cm ve |AD| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.
2) İki üçgenin köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise üçgenler benzerdir.
Buna Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K.) benzerlik kuralı denir.
Örnek: Aşağıdaki şekilde |AB| = 2|EF|, |BC| = 2|DF|, |AC| = 2|DE|, m(C) = 3a – 15° ve m(D) = 2a olduğuna göre a nın kaç derece olduğunu bulalım.
Cevap: Verilenlere göre üçgenlerin karşılıklı tüm kenarları orantılıdır.
Dolayısıyla ABC ∼ EFD olur (K.K.K. benzerlik kuralı). Benzer üçgenlerde orantılı kenarları gören açılar eş olacağından m(A) = m(E)
m(B) = m(F)
m(C) = m(D) olur.
Buradan m(C) = m(D)
3a – 15° = 2a
3a – 2a = 15°
a = 15° bulunur.
3) İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı ikişer açı eş ise
bu iki üçgen benzerdir.
Buna Açı – Açı (A.A.) benzerlik kuralı denir.
Aşağıdaki ABC ve DEF nde, B \( \cong \) E, C \( \cong \) F ise ABC ∼ DEF olur. (A.A. benzerlik kuralı)
Örnek: Aşağıdaki şekilde B, C ve D ile D, E ve F noktaları doğrusal, [DF] ⊥ [AB], [AC] ⊥[BD], |AE| = 6 cm, |EC| = 4 cm, |BC| = 5 cm ve |CD| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.
Üçgende Orantılı Doğru Parçaları
1) Bir üçgende herhangi bir kenara paralel çizilen doğru kestiği kenarlarda orantılı doğru parçaları ayırır. Buna temel orantı teoremi denir.
Örnek: Aşağıdaki AÿBC nde [DE] // [BC] , 3|AE| = 4|EC|, |AD| = x + 5 cm ve
|DB| = x + 1 cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.
2) Temel orantı teoreminin karşıtı da doğrudur. Bir doğru, üçgenin iki kenarını kestiğinde oluşan parçalar karşılıklı olarak orantılı ise bu doğru üçüncü kenara paraleldir.
3) Birbirine paralel en az üç doğru iki farklı doğru ile kesildiğinde karşılıklı olarak orantılı doğru parçaları oluşur. Buna Thales teoremi denir.
Örnek: Aşağıdaki şekilde d1 // d2 // d3 , |AB| = x + 1 br, |BC| = 3x + 3 br, |DE| = 5 br ve |EF| = y + 2 br olduğuna göre y nin kaç olduğunu bulalım.
