Taban Aritmetiği
İki basamaklı bir ( ab ) sayısı 10a + b şeklinde,
üç basamaklı bir ( abc ) sayısı 100a + 10b + c şeklinde,
dört basamaklı bir ( abcd ) sayısı 1000a + 100b + 10c + d şeklinde
çözümlenir ve basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder.
Görüldüğü gibi, herhangi bir ( abc . . . ) sayısının yazılmasında kullanılan rakamlar,
10 sayısının kuvvetleri ile çarpılarak değerlendiriliyorlar.
İşte burada bu şekilde bir görev üstlenen 10 sayısına sayı tabanı veya sadece taban denir.
Kullandığımız sayı sisteminin tabanı 10 ‘ dur.
Taban olarak 10 yerine herhangi bir başka sayma sayısı da yazılabilir.
Bununla ilgili problemleri, taban Aritmetiği konusunda inceleyeceğiz.
Herhangi bir ” p ” tabanında verilmiş bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:
Bir sayının herhangi bir ” p ” tabanında yazıldığı belirtileceği zaman, ( abc . . . )p şeklinde kullanılır.
Bu sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, bu sayıyı çözümlemek anlamına gelir.
Bir ” p ” tabanında yazılmış bir sayının çözümlenmesi işlemi, 10 tabanındaki çözümleme işlemine benzer. Sadece 10 sayısı yerine ” p ” sayısı yazılır.
İki basamaklı bir ( ab )p sayısı a.p + b şeklinde,
üç basamaklı bir ( abc )p sayısı a.p2 + b.p + c şeklinde,
dört basamaklı bir ( abcd )p sayısı a.p3 + b.p2 + c.p + d şeklinde çözümlenir ve
basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde sürüp gider.
( abcd )p = a.p3 + b.p2 + c.p + d
ÖRNEKLER :
| 1) ( 702 )9 | = 7.92 + 0.9 + 2 | = 7.81 + 0 + 2 | = 567 + 2 | = 569 |
| 2) ( 702 )8 | = 7.82 + 0.8 + 2 | = 7.64 + 0 + 2 | = 448 + 2 | = 450 |
| 3) ( 343 )5 | = 3.52 + 4.5 + 3 | = 3.25 + 20 + 3 | = 75 + 23 | = 98 |
| 4) ( 1011 )2 | = 1.23 + 0.22 + 1.2 + 1 | = 8 + 0 + 2 + 1 | = 11 | |
| 5) ( 1011 )3 | = 1.33 + 0.32 + 1.3 + 1 | = 27 + 0 + 3 + 1 | = 31 | |
| 6) ( 1000 )7 | = 1.73 + 0.72 + 0.7 + 0 | = 343 + 0 + 0 + 0 | = 343 |
10 tabanında yazılmış bir sayının bir ” p ” tabanında yazılışını bulmak :
10 tabanında yazılmış sayıya A diyelim. A sayısının p tabanındaki yazılışını bulmak için, A sayısı p ye bölünür. Bu bölme işleminde elde edilen bölüm, p sayısına eşit veya p sayısından daha büyükse, bölüm p ye bölünür. Bu işleme, elde edilen bölüm p sayısından küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölüm p sayısından küçük olduğu zaman, bu bölüm ve tüm bölme işlemlerindeki kalanlar, sondan başa doğru, ilk bölme işlemindeki kalan birler basamağına gelecek şekilde sıralanır. Böylece A sayısının p tabanında yazılışına ulaşmış oluruz.
Bu yolla 96 sayısının 8 , 7 ve 6 tabanlarındaki yazılışlarını tek tek bulalım.
1) 96 sayısının 8 tabanında yazılışı:
96 sayısı 8 ile bölününce bölüm 12, kalan 0 dır.
96 = 8 . 12+ 0
Bölüm olan 12 sayısı 8′ den büyüktür. 12, 8 ile bölünür. Bu bölme işleminde de bölüm 1, kalan 4 tür.
12 = 8 . 1 + 4
Şuan bölüm olan 1 sayısı 8′ den küçüktür.
Son bölüm olan 1 sayısı başa, ilk kalan olan 0 sayısı sona gelecek biçimde, 1, 4 ve 0 sayıları yan yana yazılır. Böylece 96 sayısının 8 tabanında yazılışı 140 olarak elde edilmiş olur.
96 = ( 140 )8
| 2) 96 sayısının 7 tabanında yazılışı:96 = 7 . 13 + 5 13 = 7 . 1 + 6 96 = ( 165 )7 |
3) 96 sayısının 6 tabanında yazılışı:96 = 6 . 16 + 0 16 = 6 . 2 + 4 96 = ( 240 )6 |
Bir bölme işleminde, kalan daima bölenden küçüktür. Buna göre, bir sayının bir p tabanındaki yazılışında, kullanılan sayıların hepsi ” p ” den küçük olmalıdır.
( abcd )p yazılışında a, b, c ve d, ” p ” den küçük sayılar olmalıdır.
Örneğin ( 240 )3 yazılışı yanlıştır, çünkü sayı tabanı 3 olduğu halde, sayı yazılırken üçten büyük olan 4 kullanılmıştır.
Bunun gibi, ( 2406 )6 yazılışı da yanlıştır, çünkü sayı tabanı 6 olduğu halde, sayı yazılırken de 6 kullanılmıştır.
Herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:
10 tabanında yazılmış bir ondalık sayı, örneğin 37,254 sayısı aşağıdaki gibi çözümlenir :
37,254 = 3 . 10 + 7 + 2 . 10-1 + 5 . 10-2 + 4 . 10-3
Bunun gibi, herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, yani bu sayıyı çözümlemek için, taban olan p sayısı, yukarıdaki açılımda 10 sayısının kullanıldığı gibi kullanılır. Örneğin ( 37,254 )8 = 3 . 8 + 7 + 2 . 8-1 + 5 . 8-2 + 4 . 8-3 = 31,3359375 olur.
( ab,cde )p = a.p + b + c.p-1 + d.p-2 + e.p-3