Dairenin Alanını ve Çevresini Hesaplama

İlköğretim 5. sınıftan beri gördüğümüz daire, çember gibi geometrik şekillerin çevresini ve alanının nasıl hesaplandığını öğrenelim.

 
 

Dairenin Çevresi Nasıl Hesaplanır ? 

 
 

Dairenin çevresinden kasıt çemberin uzunluğudur. Uzunluğunu hesaplamak için π.2r formülünü kullanabiliriz. r dediğimiz ifade çemberin yada dairenin yarı çapıdır.

 
 

dairenin alanı

 
 

Dairenin Alanı Nasıl Hesaplanır ? 

 
 

r yarı çaplı bir dairemiz olsun. Dairemizin alanı için  π.r formülünü kullanıyoruz. Pi sayısı dediğimiz rakam genelde 3 olarak alınır. Bu değer sorularda genelde verilir.

 
 

dairenin alanı

 
 

Hesapladığımız bu alan tüm dairenin yani O noktasındaki 360 derecelik açıya karşılık gelen alanı ifade eder. Diyelim ki biz tüm dairenin alanını değilde belli bir miktar açıya karşılık gelen daire diliminin alanını arıyoruz.  O zaman devreye oranlama giriyor. Şöyleki 360 dereceye karşılık tüm alan ise verilen açı miktarına karşılık gelen alan nedir ?

 
 

daire diliminin alanı

 
 

İşi biraz daha zorlaştıralım. Daire kesmesinin alanını hesaplama bölümüne geçelim. Şöyle yapıyoruz; daire diliminin alanından yarıçaplar ile oluşturulan üçgenin alanını çıkarıyoruz. Bu tür sorular ileri seviyee sorulardır. İlköğretim seviyesinde karşınıza çıkmaz. Çünkü soruya trigonometri konusu da girmiştir. Sinüsler, cosünüsler vs. Lise sınıflarında göreceğiniz tiplerdir.

 
 

daire kesmesinin alanı

 
 

Dairenin çevresi ve alanı ile ilgili ÇÖZÜMLÜ SORULAR için kategorimize bakabilirsiniz. TIKLAYIN.

Zihinden Çıkarma İşlemi Yapalım – 3. Sınıf

Matematikte bir çıkarma işlemini kağıt, kalem, hesap makinesi vs gibi bir materyal kullanmadan yapmaya zihinden işlem yapma denir. Bazen pratik bilgiler kullanarak çok hızlı bir şekilde işlem yapılabiliyor. 3. Sınıf ta öğrencilere öğretilen zihinden çıkarma yapma işlemi için bazı pratik bilgiler verelim.

 
 

Örneğin,   46  – 14   işlemini ele alalım.  İlk önce birler basamağına bakalım. Cevabımız evet ise  sayıları onlar ve birlik olarak ayrı ayrı çıkartıp cevabı bulabiliriz.

 
 

6 – 4 = 2  ve  4 – 1 = 3  evet sonuç  32 bulduk.  Hadi birde 3 basamaklı zihinden çıkarma işlemi yapalım;

 
 
129 – 105 e bakalım.   9, 5 ten büyük. çıkardık ve sonuç 4.   Sıra geldi onlar basamağına. 2, 0 dan büyük ve sonuç 2. Yüzler basamağına bakalım, hiç uğraşmaya gerek yok çünkü 1 ler birbirini götürüyor. Sonuç 24 .

 
 

İkinci bir yol gösterelim. Çıkarılan sayı sonu sıfır olan sayılara yakın ise ;

 
 

Örneğin;  76 – 28 e bakalım.  28 sayısı 30 a yakın bir sayıdır.  76 dan 30 u çıkarmak daha kolay olacaktır. Evet çıkardık ve sonuç 46 oldu. Peki sonra ?  28 i 30 a tamamlamak için 2 eklemiştik. bu 2 yi de 46 nın üzerine ekleyelim. Sonuç 48 .  Süper !!!

11. Sınıf Determinantlar Konu Anlatımı

.

DETERMİNANTLAR

 

.
.

 

.
.

 

.
.

 

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)

 

Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, aij elemanının Minör’ü denir ve Mij ile gösterilir.

 

.
.

 

Tanım: 3×3 türünden bütün matrislerin kümesi  M3 olsun.

 

.
.

 

DETERMİNANT FONKSİYONU

 

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi  olsun.

 

.
.

 

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ

 

1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.

 

.
.

 

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

 

.
.

 

determinantı verilmiş olsun. Bu  determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, IAI=0 dır.

 

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.

 

.
.

 

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

 

.
.

 

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

 

.
.

 

6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

 

.
.

 

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

 

.
.

 

8)  Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

 

.
.

 

9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam  sıfır olur.

3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.

 

.
.

LYS Polinomlar Konu Anlatımı

.

P uzunluğunda ve 2r yüksekliğinde bir dikdörtgenin alanıyla 4r çapında bir dairenin alanının farkını iki terim kullanarak yazınız.

(p > 7r)

 

İlk olarak bir dikdörtgenin alanını düşünelim. Dikdörtgenin uzunluğu p ve yüksekliği 2r.

 

.
.

 

Alan uzunluk x yükseklik olacağından Alan = 2rp olacaktır. Bunu yükseklik x uzunluk veya uzunluk x yükseklik şeklinde düşünebilirsiniz.

Şimdi aynı zamanda bu alan ve dairenin alanı arasındaki farkı da bulmak istiyoruz. Bu 4r çapındaki bir dairenin alanı olacak. Dairenin alanı pi çarpı r nin karesidir. Bu formuldeki r = yarıçaptır. Bizim elimizde çap olduğundan bunun yarısını göz önünde bulunduracağız. Yani 2r olarak düşüneceğiz. Dairemizin alanı da pi çarpı 2r nin karesi olacaktır. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

 

.
.

 

Biz şimdi soruda da bizden istediği gibi dikdörtgen ile dairenin alanları arasındaki farkı bulacağız. Farkı bulmak için ilk önce hangisinin alanının daha büyük olduğuna bakalım. Böylece sonuç olarak elimizde negatif bir sayı olmayacaktır.

 

P nin 7 r den büyük olduğunu biliyoruz. Şimdi bunu bir düşünelim. Eğer P, 7r den büyükse ve eşitliğin iki tarafını da 2r ile çarparsak eşitliği bozmamış oluruz.

 

.
.

 

Bunu niye 2r ile çarptık? Farkettiyseniz 2rp dikdörtgenin alanıyla aynı oldu yani üstteki resimdeki sol taraf dikdörtgenin alanına eşit oldu. Şimdi gelelim sağ tarafa. 14r nin karesi 4 pi 14 ten küçük olacağından 4x 3,5 = 14 olduğundan 4x pi 14 ten küçük olacağından dairenin alanından büyük olacaktır. Şimdi ulaştığımız sonuç dikdörtgenin alanın dairenin alanından büyük olduğudur.

 

O zaman şimdi farkı bulabilmek için dairenin alanını dikdörtgenin alanından çıkaracağız.

 

.
.

3. Sınıf Doğal Sayılarla Bölme İşlemi

.
doğal sayılarda bölme işlemi
doğal sayılarda bölme işlemi

 

48 Sayısını 3 e bölerek başlayalım. Bu işlemi de taban bloklar kullanarak yapalım.

 

Öncelikle 48 in içinde 4 onluk ve 8 birlik olduğunu görürüz.

 

.
.
.
.

 

 

Ve bunları üç gruba yani 3 e bölmek için boş yuvarlaklar çizeriz.

 

.
.

 

İkinci adım olarak çizdiğimiz yuvarlakların içine onluk blokları yerleştiririz.Bir onluk bloğumuz dışarıda kalır.

 

.
.

 

 

Kalan onluğu 10 tane 1 lik olarak ayırıp elimizdeki 8 birlikle birleştirdiğimizde toplam 18 birlik elde ederiz.

 

.
.

 

 

Bu birliklerimizi de teker teker yuvarlakların içine dağıtırız. Dağıtma işlemi bittiğinde her yuvarlağın içinde 1 adet 10 luk, 6 adet birlik olduğunu görürüz

 

.
.

 

.
.

 

yani 16 sayısını buluruz. 48 bölü 3 eşittir 16 deriz.

 

.
.

10. Sınıf Eşitsizlikler Konu Anlatımı

.
Eşitsizlikler 10. Sınıf
Eşitsizlikler 10. Sınıf

 

Dünyanın en zor mesleklerinden biri madenciliktir. Maden işçileri yerin metrelerce altında zor koşullarda çalışırlar. Bütün nir gününüzü yerin altında, gün ışığı görmeden, ağır işlerle uğraşarak geçirdiğinizi hayal edin. Madencilerin yaşadıklarını anlamanız zor olmayacaktır.

Çalışanlar madene inmek için “kuyu vinci” adı verilen bir asansör sistemi kullanırlar. Çalışanların bindiği kabine “kafes”, kafesin hareket ettiği boşluğa “kuyu” adı verilir.

lise 2 eşitsizlikler
lise 2 eşitsizlikler

Kafesin kuyuda durduğu noktaları belirtmek için o noktanın deniz seviyesine göre konumunu belirten kodlar kullanılır.

Örneğin deniz seviyesinin 20 metre üzerindeki nokta kod +20 olarak adlandırılır.

eşitsizlikler
eşitsizlikler

Bir kafesin deniz seviyesine göre konumunun kaçıncı durakta olduğuna bağlı olarak;

.
.

fonksiyonuyla hesaplandığını düşünün.

Yukarıdaki fonksiyonun tablosu aşağıdaki şekilde verilmiştir. Fonksiyonun değeri x =1 için 120, 2 için 60, 3 için 0, 4 için -60, 5 için -120 dir.

Şimdi ise alttaki kutucuklara her x değeri için fonksiyonun işaretlerini belirleyelim.

.
.

 

-60x + 180 = 0 denkleminin kökü olan 3 fonksiyonu 0 yapan x değeridir. Yine yukarıdaki tablodan fonksiyonun pozitif ve negatif işaret aldığı x değerlerini görebiliriz.

 

Bu konu anlatımı EBA videoları kaynak alınarak hazırlanmıştır.

10. Sınıf İkinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

.
ikinci dereceden denklemler lise 2
ikinci dereceden denklemler lise 2

Atıcılık sporunda çalışanlar bir hedef atıcı makine eşliğinde çalışırlar. Atış makineleri bir diski rastgele zamanlarda , rastgele yönlerde atarlar ve atıcılar da onu vurmaya çalışırlar. Bazı atıcılar diski takip ederek vurmaya çalışırlarken bazıları diski belli bir yükseklikte vurmak için tüfeğini ayarlar ve disk yükselirken onu vurmaya çalışır. Tabi bu anı kaçırırsa bu defa da diskin bu yüksekliğe düştüğü anı yakalamaya çalışır.

Saniyede 39,2 metre hızla havaya dik olarak atılan bir disk kaç saniye sonra 34,3 metre yükselikte olacaktır.

Başlangıç noktası t = sıfır olarak kabul edildiğinde yerçekimi ivmesi altında serbest düşen bir cismin t. saniyede aldığı yol 4,9 t kare metre ve saniyede 39,2 metre hızla yola çıkan bir cismin t. saniyede aldığı yol 39,2 t metredir.

.
.

Buna göre saniyede 39,2 metre hızla havaya dik olarak atılan bir diskin t. saniyede atış noktasına göre yükseliği y=-4,9 t kare + 39,2 t olacaktır. Bu yüksekliğin 39,3 olduğu t anını bulmak istiyoruz.

Bu ikinci dereceden tek bilinmeyenli denklem sadeleştirildiğinde tkare – 8t + 7 = 0 denklemi elde edilir. tkare – 8 t +7 ifadesi parantez içinde (t-1) (t-7) olarak çarpanlarına ayrılır. Böylece t=1 ve t =7 değerleri bu denklemin kökleridir. Buradan çözüm kümesi 1,7 olarak bulunur.

.
.

 

Yiyeceklerdeki bakteriler zamanla üreyerek yiyecekleri faydasız hatta zararlı hale getirmektedirler. Yiyeceklerdeki bakterilerin ürememesi için bir yol yiyeceklerin donmuş olarak saklanmasıdır. Fakat dondurulmuş gıdalar çözülmeye başlayınca içindeki bakteriler de hızla artmaya başlar. Bu yüzden çözülen gıdalar hızla bozulur.

Dondurulmuş gıdadaki bir birim miktarındaki bakteri sayısının 2 ile 14 derece arasındaki sıcaklığa bağlı olarak aşağıdaki değerlere göre değiştiği tespit edilmiştir.

.
.

Yiyeceğin sıcaklığı kaç dereceye çıktığında birim miktarındaki bakteri sayısının 1700 e çıkacağı bulunmak isteniyor.

Denklem düzenlenince aşağıdaki görüntü oluşur.

.
.

Çözüm kümesi ise aşağıdaki şekilde oluşur.

.
.

Bu ders anlatımı EBA videolarından derlenmiştir.