²11. Sınıf Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri Konu Anlatımı Pdf dersimizde işleyeceğimiz konular; İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri, İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri ve İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümeleri dir.
*** Ikinci Dereceden Iki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Ikinci Dereceden Iki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümeleri;
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem adı verilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan sisteme de ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Buradaki a, b, c, d, e ve f denklemin katsayılarıdır. Bu denklem;
Denklemlerden en az bir tanesi ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olmak üzere iki denklemden oluşan sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Denklem sistemini çözmek demek, verilen her iki denklemi de sağlayan (x, y) sıralı ikililerini bulmak demektir.
Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin kümesine de verilen sistemin çözüm kümesi denir.
Genelde denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan yöntem, denklemlerin birinden bir bilinmeyeni çekip, diğer denklemlerde yerine yazarak bilinmeyen sayısını düşürmektir. Bilinmeyen sayısı 1 e düşürülen denklemde kalan bilinmeyen bulunarak, bu değer denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin bulunması sağlanır. Bu yöntemi verilen denklem sisteminde uygulamak zor oluyorsa verilen denklem sistemindeki denklemler kullanılarak bir bilinmeyenli yeni bir denklem elde etmek, çözüm için kullanabilecek diğer bir yöntemdir.
Şimdi bu açıklamalar ile ilgili bir örnek soru yaparak konuyu iyice anlamaya çalışalım arkadaşlar.
Örnek: Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
x2 – 3y2 = -21
x2 + y2 = 43
Cevap: Verilen denklem sisteminde ikinci denklemi (–1) ile çarpıp denklemleri taraf tarafa toplayalım.
Bulduğumuz değerleri denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazarsak
Buradan verilen denklem sisteminin çözüm kümesi;
Örnek: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini R² de bulalım.
y = 4x² – x – 6
y = 2x² + x – 2
Cevap: Verilen denklem sistemindeki ilk denklemin y değerini ikinci denklemde yerine yazıp bilinmeyen sayısını bire indirerek önce x değerini bulalım.
y = 4x² – x – 6 ve y = 2x² + x – 2 ise
4x² – x – 6 = 2x² + x – 2
2x² – 2x – 4 = 0
2(x – 2) . (x + 1) = 0
x = 2 veya x = –1 bulunur.
x = 2 için y = 4 . 2² – 2 – 6 olur; y = 8 ve
x = –1 için y = 4 . (–1)² – (–1) – 6 olur; y = –1 olur.
O hâlde bu denklem sisteminin çözümü, (–1, –1) ve (2, 8) noktalarıdır.
Çözüm kümesi,
Ç = {(–1, –1), (2, 8)} olur.
*** Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizlikler ve Esitsizlik Sistemleri
Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizliklerin Çözüm Kümeleri
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere
ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c < 0,
ax² + bx + c ≤ 0 biçiminde yazılan eşitsizliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm kümesi yukarıda bahsedildiği gibi işaret tablosu oluşturulup bulunur.
Örnek: –15x² ≥ 7 – 8x eşitsizliğinin çözüm kümesini R de bulalım.
Çözüm: İstenen çözüm kümesini cebir yardımıyla bulalım. Bunun için f(x) = –15x² + 8x – 7 fonksiyonuna ait işaret tablosunu yapalım. Önce –15x² + 8x –7 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
İşaret tablosunda da görüldüğü gibi tüm gerçek sayılar için –15x² + 8x – 7 ifadesi, daima negatiftir.
Yani –15x² + 8x – 7 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = ∅ dir.
Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümeleri
İçinde en az biri ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik olan birden fazla eşitsizliğe ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemi adı verilir. Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan noktalar kümesinden oluşur. Bunun için eşitsizlik sistemindeki her bir eşitsizliğin çözüm kümeleri bulunur. Bu çözüm kümelerinin kesişimi, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. Bu çözümleri cebir veya grafik yardımıyla yapabiliriz.
Örnek: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini R de bulalım.
x – 3 < 0
x² – 5x -6 > 0
Çözüm: Verilen eşitsizlik sistemindeki eşitsizliklerin çözümlerini ayrı ayrı bulalım.
x – 3 < 0 için x – 3 = 0 ⇒ x = 3
x² – 5x – 6 > 0 için x² – 5x – 6 = 0 ⇒ x = –1 veya x = 6 dır.
Bulunan kökleri işaret tablosunda küçükten büyüğe yazıp işaret tablosunu dolduralım.
Yapılan işaret tablosundan x – 3 ifadesinin negatif ve x² – 5x – 6 ifadesinin pozitif olduğu ortak çözüm (∞, –1) olduğu görülür.
O hâlde verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi Ç = {x| x < –1, x ∈ R} elde edilir.
Örnek: –15 < x² – 8x < 9 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini Z de bulalım.
