Ortak bölenler ve ortak katlar konusu için hem konu anlatımı hem test çözümü hem de örneklerin olduğu bu yazımızda siz değerli okuyucularımıza en önemli bilgileri vermeye çalışacağız.
Kısa adı OBEB OKEK olan bu konuyu aslında geniş kavramlı bir konudur fakat bu yazımızda sadece 6. sınıflar için gerekli olan bilgileri yazacağız.
Ortak Bölenler Nedir?
İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen sayılara, bu sayıların ortak böleni denir. Ortak bölen sayıları tespit etmek için yapılacak işlem; verilen doğal sayıların bölenlerini ayrı ayrı bulduktan sonra ortak olanlarını belirlemektir. Aşağıda bu işlemlerin nasıl yapılacağını örnekler kullanarak açıklayalım.
Bir doğal sayının bölenleri, nasıl buluruz? çarpım yaptığımızda o doğal sayıyı veren sayı ikililerinden oluşmaktadır.
ÖRNEK: 18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini bulalım.
ÇÖZÜM: İlk başta 18 sayısının bölenlerini bulalım.
1 x 18 = 18
2 x 9 = 18
3 x 6 = 18
Yukarıdaki örnekte görüleceği üzere çarptığımızda 18’i veren başka doğal sayı bulunmuyor. Bundan dolayıda 18’in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18 dir.
İkinci olarak ta 24 sayısının bölenlerini bulalım.
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 =24
4 x 6 = 24
24’ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olarak bulduk.
İki sayının ortak bölenlerini bulduk. Her iki sayıdaki aynı ortak bölenler bizim aradığımız sayılar olacaktır.
18’in bölenleri = 1, 2, 3, 6, 9, 18
24’ün bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Yukarıda iki sayının bölenleri içerisinde ortak olan sayıları kalın siyah renkle boyadık. 18 ve 24 sayılarının her ikisini de bölen sayılara, 18 ile 24’ün ortak bölenleri denir. 18 ve 24 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6 dır. 18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğü ise bu durumda 6 olmaktadır.
Ortak Katlar Nedir?
İki veya daha fazla sayının katları içerisinde ortak olanlara, bu sayıların ortak katı denir. Ortak katları bulabilmek için yapılacak işlemler, sayıların katlarını ayrı ayrı bulup, sonra katları içerisinde ortak olanları bulmaktır..
Aşağıdaki paylaştığımız örnek üzerinden ortak katların nasıl bulunacağına bakalım..
ÖRNEK: 5 ve 6 rakamlarının ortak katlarını bulalım.
ÇÖZÜM: İlk başta 5’in katlarını bulalım.
5’in katları = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 şeklinde devam eder.
Şimdi de 6’ nın katlarını bulalım.
6’ nın katları = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 şeklinde devam eder.
Şimdi gelelim 5 ve 6’nın katları içerisinde ortak olanları bulalım.
5’in katları = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 …
6′ nın katları = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 …
Yukarıdaki ortak katlı sayılar kalın siyak renkle belirtilmiştir. 5 ve 6 doğal sayılarının ortak katları 30 ve 60 sayılarıdır fakat bu ortak katlar 60 ta bitmez. Biz 60 a kadar yazdığımız için sadece bu iki sayı ortak geldi.
Son durumda 5 ve 6 sayılarının ortak katları içerisinde en küçük olanını 30 olarak bulmuş oluruz.
Soru: Emre kenar uzunlukları 50 cm ve 70 cm olan bir kartonun içini, renkli el işi kâğıtlarından keseceği eşit büyüklüklerdeki karelerle boşluk kalmayacak şekilde kaplamak istiyor. Bunun için kenar uzunluğu 1 cm olan kare şeklindeki kâğıt parçalarını kullanabileceğini biliyor. Bunun dışında Emre kenar uzunluğu kaçar santimetre olan kare şeklindeki kâğıtlar kullanabilir?
Cevap: 50 ve 70 in ortak bölenlerini bulmamız gerekiyor arkadaşlar.
50 ve 70 i 2 ye bölersek 25 ve 35 kalır
25 ve 35 i 5 e bölersek 5 ve 7 kalır.
Bu durumda ortak bölenler 5 ve 7 dir.
Yani, Emre kenar uzunluğu 5 ve 7 santimetre olan kare şeklindeki kâğıtlar kullanabilir.
Soru: Farklı tür ilaçların alımı için hatırlatmaya ayarlanan iki saatten birincisi 4 saatte, ikincisi 6 saatte bir çalmaktadır. İkisi birlikte çaldıktan kaç saat sonra tekrar birlikte çalarlar?
Cevap: 4 ve 6 nın ortak katlarını bulmamız gerek arkadaşlar
4 ve 6 yı 2 ye bölersek 2 ve 3 kalır
2 ve 3 ü 2 ye bölersek 1 ve 3 kalır
1 ve 3 ü 3 e bölersek 1 ve 1 kalır
Bu durumda ortak katı, 2.2.3=12 olur arkadaşlar.
Yani her 12 saatten bir bu saatlerin ortak alrmı çalmış olur.
Yani ikisi birlikte çaldıktan 12 saat sonra tekrar birlikte çalarlar
Soru: 18 litre süt, 24 litre yağ birbirine karıştırılmadan eşit hacimli kaplara doldurulmak isteniyor. Bu iş için kaçar litrelik kaplar kullanılabilir?
Cevap: 18 ve 24 ün ortak bölenlerini bulmamız gerekiyor arkadaşlar.
18 ve 24 ü 2 ye bölersek 9 ve 12 kalır (ortak bölen)
9 ve 12 yi 2 ye bölersek 9 ve 6 kalır
9 ve 6 yı 2 ye bölersek 9 ve 3 kalır
9 ve 3 ü 3 e bölersek 3 ve 1 kalır (ortak bölen)
3 ve 1 i 3 e bölersek 1 ve 1 kalır.
Bu durumda bu iş için 2 ve 3 litrelik kaplar kullanılabilir
Soru: Ahmet amcanın dükkanında 36 kilogram ve 54 kilogram ağırlığında iki çuval mercimek vardır. Ahmet amca, mercimekleri artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde eşit büyüklüklerde torbalara doldurmak istiyor. Bu iş için kaç kg’lık torbalar kullanılabilir?
Cevap: 36 ve 54 ün ortak bölenlerini bulmamamız gerekiyor arkadaşlar
36 ve 54 ü 2 ye bölersek 18 ve 27 (ortak bölen)
18 ve 27 i 2 ye bölersek 9 ve 27 (ortak bölen)
9 ve 27 i 3 e bölersek 3 ve 9 (ortak bölen)
3 ve 9 u 3 e bölersek 1 ve 3 kalır.
Bu durumda ortak bölenler 2,3 tür arkadaşlar.
Aynı zamanda 2.2.3=12
2.3=6 da dahildir.
Son durumda bu iş için 2,3,6 ve 12 kg lık torbalar kullanılabilir arkadaşlar.
Soru: 48 ve 60 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz.
Cevap: 48 ve 60 ı 2 ye bölersek 24 ve 30 (ortak bölen)
24 ve 30 u 2 ye bölersek 12 ve 15 (ortak bölen)
12 ve 15 i 2 ye bölersek 6 ve 15
6 ve 15 i 2 ye bölersek 3 ve 15
3 ve 15 i 3 e bölersek 1 ve 5 kalır. (ortak bölen)
Bu duurmda ortak bölenler 2.2.3=12 dir.
Soru: 80’in bölenlerini bulunuz. Bu bölenlerden kaç tanesi tek sayı, kaç tanesi çift sayıdır?
Cevap: 80 nin bölenlerini sırasıyla yazarsak arkadaşlar
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80 dir.
Bunlardan tek sayı olanlar 1 ve 5 tir.
Çift sayı olanlar ise 2, 4, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80 dir.
Soru: 8 ve 24 sayılarının 130’dan küçük ortak katlarını yazınız.
Cevap: 8 ve 24 ün ortak katını bulalım arkadaşlar.
8 ve 24 ü 2 ye bölersek 4 ve 12
4 ve 12 yi 2 ye bölersek 2 ve 6
2 e 6 yı 2 ye bölersek 1 ve 3
1 ve 3 ü 3 e bölersek 1 ve 1 kalır
Bu durmda ortak kat 2.2.2.3=24 olur.
130’dan küçük ortak katları ise 24, 48, 72, 96 ve 120 olur.
Soru: 120 kg’lık ve 96 kg’lık iki farklı cins nohut, eşit ölçülerdeki torbalara hiç artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde doldurulmak isteniyor. Bunun için kaçar kilogramlık torbalar kullanılabilir?
Cevap: 120 ve 96 nın ortak bölenlerini almamız gerekiyor arkadaşlar
120 ve 96 yı 2 ye bölersek 60 ve 48 kalır (ortak bölen)
60 ve 48 ı 2 ye bölersek 30 ve 24 kalır (ortak bölen)
30 ve 24 ü 2 ye bölersek 15 ve 12 kalır (ortak bölen)
15 ve 6 yı 2 ye bölersek 15 ve 3 kalır
15 ve 3 ü 3 e bölersek 5 ve 1 kalır (ortak bölen)
Ortak bölen sayılarımız 2,2,2 ve 3 tür arkadaşlar.
O halde 2.2.2.3=24
2.3=6
2.2.3=12 olur
O halde 2,3,6,12 ve 24 kilogramlık torbalar kullanılabilir
Soru: Bir hastanede çalışan Tuğba Hemşire 4 günde bir, Ruşen Hemşire ise 6 günde bir nöbet tutmaktadır. Beraber, ilk nöbetlerini pazartesi günü tuttuklarına göre ikinci nöbetlerini kaç gün sonra ve hangi gün tutarlar?
Cevap: 4 ve 6 nın ortak katlarını almamız gerekiyor arkadaşlar.
4 ve 6 yı 2 ye bölersek 2 ve 3
2 ve 3 ü 2 ye bölersek 1 ve 3
1 ve 3 ü 3 e bölersek 1 ve 1 kalır arkadaşlar
Ortak kat değeri de 2.2.3=12 olur Yani 12 gün de bir aynı gün nöbet tutarlar arkadaşlar
Pazartesi gününden sonra 12 gün ileriye gidersek
12. gün Cumartesi gününe denk gelir arkadaşlar.