Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu Anlatımı olan yazımıza hoş geldiniz arkadaşlar. Bu konu genellikle 7. sınıf, 8. sınıf, 9. sınıf ve 10. sınıf derslerinde işlenmektedir. Dilersenin konu anlatımına başlayalım.
Konu anlatımını, çözümlü örnek sorular ile destekleyerek hazırladık arkadaşlar.
DOĞRUSAL DENKLEMLER
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
İçinde bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenin bazı değer(ler)i için doğru olan eşitliğe denklem denir. Bu değer(ler)i bulma işlemine de denklem çözme denir.
İçinde bir bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ax + b = 0 (a, b birer gerçek sayı ve x bilinmeyen) şeklinde gösterilir.
Soru : y = 4x – 7 denklemi için x = 3 ve x = -5 için y’ nin alacağı değerler toplamını bulunuz.
Cevap: x için verilen iki değeri denklemde yerine koyalım.
x = 3 için ;
y = 3.3 – 7
y = 9 – 7 = 2 olarak buluruz.
x = -5 için ;
y = 3.(-5) – 7
y = -15 – 7 = -22 olarak buluruz.
Her iki değerin toplamını ise 2 – 22 = -20 olarak buluruz.
Soru : B(4, k) noktası 5x – 2y = 8 doğrusal denkleminin grafiği üzerinde olduğuna göre k’nın alacağı değeri bulunuz.
Cevap: B noktasındaki x = 4 için y = a için koşul sağlanmalıdır.
x yerine 4, y yerine k yazalım.
5x – 2y = 8
5.4 – 2.k = 8 olur.
20 – 2k = 8
2k = 12 den k= 6 olarak cevabı buluruz.
Koordinat Sistemi
Koordinat sistemi, biri yatay diğeri dikey iki sayı doğrusunun 0 noktasında dik kesişmesi sonucu oluşur.
Sayı doğrularının kesiştiği 0 noktasına koordinat sisteminin başlangıç noktası (orijin) denir.
Koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni, dikey eksen y ekseni olarak adlandırılır. Koordinat sisteminde noktalar (x, y) şeklinde sıralı ikililerle gösterilir. x birinci bileşen, y ikinci bileşen olarak adlandırılır. Koordinat sistemi, düzlemi 4 bölgeye ayırır. Sıralı ikililerdeki bileşenlerin işaretleri bulundukları bölgeye göre değişir.
Örn;
Emel, Deniz, Mustafa, Hakan ve Ela’nın bulundukları yerler kareli kağıtta işaretlenmiştir. Bu kişilerin Deniz’e göre konumlarını belirleyelim.
Çözüm ;
Soruda Emel, Mustafa, Hakan ve Ela’nın Deniz’e göre konumları istendiği için Deniz’in bulunduğu konumu başlangıç noktası yani orijin olarak kabul edelim.
Bu noktanın bulunduğu yerden geçecek şekilde birbirine dik olacak şekilde yatay ve dikey sayı doğruları çizelim.
Emel, Hakan, Mustafa ve Ela’nın konumlarını sayı doğrularından yararlanarak sıralı ikililerle gösterelim. Sıralı ikilileri yazabilmek için x ve y olacak şekilde iki bileşene ihtiyaç vardır. Birinci bileşeni yatay sayı doğrusu (x) üzerinden, ikinci bileşeni dikey sayı doğrusu (y) üzerinden seçelim.
Deniz başlangıç noktasında olduğundan bu konuma karşılık gelen sıralı ikili (0, 0) olur.
Emel, Deniz’in 4 birim solunda ve 1 birim aşağısındadır. Emel’in konumuna karşılık gelen sıralı ikili (−4, −1) olur.
Mustafa, Deniz’in 4 birim aşağısındadır. Mustafa’nın konumuna karşılık gelen sıralı ikili (0, −4) olur.
Hakan, Deniz’in 1 birim sağında 2 birim aşağısındadır. Hakan’ın konumuna karşılık gelen sıralı ikili (1, −2) olur.
Ela, Deniz’in 2 birim sağında ve 1 birim yukarısındadır. Ela’nın konumuna karşılık gelen sıralı ikili (2, 1) olur.
NOT: Koordinat sisteminde bileşenlerinden birisi 0 olan sıralı ikililer eksenler üzerinde yer alır ve bölgelere dahil edilmez.
Örn;
Yandaki koordinat sisteminde noktaların konumları işaretlenmiştir. Bu bilgileri kullanarak tabloda boş bırakılan yerleri doldurunuz.
Çözüm;
A noktası orijinin 2 birim sağında ve 1 birim yukarısındadır. A noktasına karşılık gelen sıralı ikili (2, 1) olur. A noktasının x ve y değerlerinin ikisi de pozitif (+, +) olduğu için A noktası I. Bölgede yer alır.
B noktası orijinin 4 birim sağında ve 2 birim yukarısındadır. B noktasına karşılık gelen sıralı ikili (4, 2) olur. B noktasının x ve y değerlerinin ikisi de pozitif (+, +) olduğu için B noktası I. Bölgede yer alır.
C noktası orijinin 2 birim solunda ve 4 birim yukarısındadır. C noktasına karşılık gelen sıralı ikili (-2, 4) olur. C noktasının x değeri negatif, y değeri pozitif (-, +) olduğu için C noktası II. Bölgede yer alır.
Ç noktası orijinin 3 birim solunda ve 3 birim aşağısındadır. Ç noktasına karşılık gelen sıralı ikili (-3, -3) olur. Ç noktasının x ve y değerlerinin ikisi de negatif (-, -) olduğu için Ç noktası III. Bölgede yer alır.
D noktası orijinin 2 birim aşağısındadır. D noktasına karşılık gelen sıralı ikili (0, -2) olur. D noktasının sadece y bileşeni olduğu için yani sıralı ikililerinden biri 0 olduğundan herhangi bir bölgeye dahil edilmez.
E noktası orijinin 3 birim sağında ve 4 birim aşağısındadır. E noktasına karşılık gelen sıralı ikili (3, -4) olur. E noktasının x değeri pozitif ve y değeri negatif (+, -) olduğu için E noktası IV. Bölgede yer alır.
Doğrusal İlişkiler
a ve b gerçek sayılar, x ve y değişken olmak üzere y = ax + b veya y = ax + by + c şeklinde yazılabilen denkleme doğrusal denklem denir.
Örn;
Bir içecek firması sattığı her 6 içecek için 1 bardak hediye etmektedir. Firmanın sattığı içecek sayısı ile hediye ettiği bardak sayısı arasındaki ilişkiyi tabloyla gösterip denklemini yazalım.
Çözüm;
İçecek firması sattığı her 6 içecek için 1 bardak hediye etmektedir. Bu durumda satılan her 6 içecek için hediye edilen bardak sayısı da aynı oranda artacaktır. Satılan içecek sayısı ile hediye edilen bardak sayısı aynı oranda arttığından bu ikili arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bu doğrusal ilişkiyi ifade eden denklemi yazalım. Satılan içecek sayısını “s” ve hediye edilen bardak sayısını “n” ile gösterelim. Satılan içecek sayısı = 6 . Hediye edilen bardak sayısı s = 6 ∙ n
Bu ilişkiyi bir de tablo ile gösterelim.
NOT: Doğrusal ilişkilerde herhangi bir değişkene bağlı olmayan değişkenlere bağımsız değişken denir. Bağımsız değişkene bağlı olan değişkenlere ise bağımlı değişken denir.
Örn;
Aşağıdaki doğrusal ilişkilerde yer alan niceliklerdeki bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirleyelim.
- a) Dolu bir havuz sabit hızla boşaltıldığında gecen zaman ile havuzda kalan su miktarı arasındaki ilişki
- b) Sabit hızla giden bir aracın aldığı yol ile tükettiği yakıt miktarı arasındaki ilişki
Çözüm;
- a) Geçen zaman arttıkça buna bağlı olarak havuzda kalan su miktarı azalır. Geçen zaman, herhangi bir niceliğe bağlı değişmediği için bağımsız değişkendir. Havuzda kalan su miktarı geçen zamana bağlı olduğu için bağımlı değişkendir.
- b) Gidilen yol arttıkça buna bağlı olarak tüketilen yakıt miktarı da artar. Aracın aldığı yol, herhangi bir niceliğe bağlı değişmediği için bağımsız değişkendir. Tüketilen yakıt miktarı gidilen yola bağlı olduğu için bağımlı değişkendir.
Doğrusal Denklemlerin Grafiği
x = a şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri;
a gerçek sayı olmak üzere x = a şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri x eksenini a noktasından dik olarak keser ve y eksenine paraleldir. b gerçek sayı olmak üzere y = b şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri y eksenini b noktasından dik olarak keser ve x eksenine paraleldir.
Grafikte gördüğümüz x = 3 doğrusu;
- x eksenini (3, 0) noktasında keser.
- y eksenine paraleldir.
- Orijinden geçmez.
- x = 3 doğrusal denkleminde y değişkenine hangi değeri verirsek verelim x her zaman 3 olur.
Grafikte gördüğümüz gibi y = −4 doğrusu:
- y eksenini (0, −4) noktasında keser.
- x eksenine paraleldir.
- Orijinden geçmez.
- y = − 4 doğrusal denkleminde, x değişkenine hangi değeri verirsek verelim, y her zaman −4 olur.
y = ax şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri;
a bir gerçek sayı olmak üzere y = ax şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri orijinden geçer.
Grafikte gördüğümüz gibi y = −3x doğrusu:
- x ve y eksenlerini (0, 0) noktasında keser.
- Eksenlere paralel değildir.
- Orijinden geçer.
Grafikte gördüğümüz gibi y = 2x doğrusu:
- x ve y eksenini (0, 0) noktasında keser.
- Eksenlere paralel değildir.
- Orijinden geçer.
y = ax + b (ax + by + c = 0) şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri;
a ve b sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere y = ax + b yani (ax + by + c = 0) şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri:
* Orijinden geçmez.
* Eksenlere paralel değildir.
Grafikte gördüğümüz gibi y = x − 2 doğrusu:
y = x – 2’ de x = 0 için y = 2,
y = 0 için x = 2 olur.
- x eksenini (2, 0) ve y eksenini (0, −2) noktasında keser.
- Eksenlere paralel değildir.
- Orijinden geçmez.
Örn;
İçinde 300 litre su bulunan bir depodan her gün 15 litre su kullanılmaktadır. Geçen süre ile depoda kalan su miktarı arasındaki ilişkinin tablosunu oluşturup denklemini yazalım. Oluşturduğumuz denkleme ait grafiği çizelim ve grafikle ilgili yorumlar yapalım.
Çözüm;
Zaman geçtikçe depodaki su miktarı azalacaktır. Depoda kalan su miktarını y ve gecen zamanı x ile gösterelim. Bu ilişkiye ait denklem
y = 300 − 15x olur.
y = 300 − 15x doğrusunun grafiğini çizmek için tablodan (0, 300) ve (2, 270) sıralı ikililerini seçerek grafiğini çizelim. x değerindeki her 1 birimlik artışa karşı y değeri 15 birim azaldığı için değişkenler arasında doğrusal ilişki vardır.
y = 300 − 15x doğrusu:
- x eksenini (20, 0) ve y eksenini (0, 300) noktasında keser.
- Eksenlere paralel değildir.
- Orijinden geçmez.
Soru: y = x + 2 doğrusunun grafiğini çizelim.
Cevap: y = x + 2 doğrusal denkleminde x bağımsız, y bağımlı değişkendir. x’e
farklı değerler vererek y’nin değerlerini bulalım. Bu sıralı ikilileri koordinat
sisteminde göstererek doğruyu çizelim.
x = –2 için y = –2 + 2 = 0
x = –1 için y = –1 + 2 = 1
x = 0 için y = 0 + 2 = 2
x = 1 için y = 1 + 2 = 3
x = 2 için y = 2 + 2 = 4
Koordinat sisteminde gösterilecek sıralı ikilileri tabloya bakarak yazalım.
(–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4)
Koordinat sisteminde işaretlediğimiz noktaları bir cetvel yardımıyla birleştirelim.
y = x + 2 doğrusu orjinden geçmez
Soru: y = 2x – 6 doğrusunu grafiğini çizelim.
Cevap: Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Bunun için x = 0 için y’nin alacağı ve y = 0 için x’in alacağı değeri bulalım.
x = 0 için y = 2 · 0 – 6 = –6
y = 0 için 0 = 2x – 6
x = 3
Koordinat sisteminde gösterilecek sıralı ikililer (0, –6) ve (3, 0)’dır. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip cetvel yardımıyla doğruyu çizelim.
y = 2x – 6 doğrusu orjinden geçmez
Eğim
Bir doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranına eğim denir.
Bu durumda eğim dikey uzunluk ile doğru, yatay uzunluk ile ters orantılıdır.
Örn ;
Şekildeki pistte 2 numaralı pistin eğimi, 1 numaralı pistin eğiminin 2 katına eşittir. A noktasından sürmeye başlayan Cem B noktasına çıkmıştır. Buna göre Cem’in B noktasında iken yerden kaç metre yüksekte olduğunu bulalım.
Çözüm; Cem’in kaç metre yükseğe çıktığını bulmak için pistlerin eğiminden yararlanalım.
1 numaralı pistin eğimi = Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk = 10/30 = 1/3 olur.
2 numaralı pistin eğimi = 2. ( 1/3 ) = 2/3 olur.
2 numaralı pistin dikey uzunluğuna x diyelim.
2 numaralı pistin dikey uzunluğu 30 m olduğundan Cem’in B noktasında iken yerden yüksekliği 30 m olur.
NOT: a ve b gerçek sayılar olmak üzere, y = ax + b biçimindeki doğrusal denklemlerde x’in katsayısı olan a değeri, doğrunun eğimine eşittir.
Örn; y = −2x + 1 doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım.
Çözüm;
y = −2x + 1 doğrusunun eğimini bulabilmek için x ve y’nin farklı değerlerini gösteren sıralı ikililer oluşturalım.
Sıralı ikilileri koordinat sisteminde işaretleyip doğrusal olarak birleştirelim. Doğrunun eğimini bulmak için sıralı ikilileri köşe kabul eden dik üçgenler oluşturalım.
Oluşturduğumuz dik üçgende y değerindeki değişimin x değerindeki değişime oranı eğimi verir.
Eğim = y değerindeki değişim / x değerindeki değişim
Mavi üçgenin eğimi = 4/2 = 2 olur
Yeşil üçgenin eğimi = 2/1 = 2 olur.
Dik üçgenlerde x değerindeki her 1 birimlik artışa karşılık y değeri 2 birim azaldığından eğimler eşittir.
x değerleri artarken y değerleri azaldığı için eğimin işareti negatif (−) olur. y = −2x + 1 doğrusunun eğimi −2’ye eşittir.
NOT: x eksenine paralel olan doğruların eğimi 0’dır. y eksenine paralel olan doğruların eğimi ise tanımsızdır.
y = 1 doğrusu için ; her x değerine karşılık y değeri her zaman 1 kaldığı yani hiç değişmediği için eğim = y değerindeki değişim/x değerindeki değişim = 0/1 = 0 olur.
x = -2 doğrusu için; grafik üzerindeki noktaların y değerleri değişirken x değeri sabit kalmaktadır. Bu yüzden x = -2 doğrusunun eğimi, y değerindeki değişim/x değerindeki değişim = 1/0 yani, tanımsızdır.
