Sevgili öğrenciler, bugün ki yazımızda Dik üçgen pisagor bağıntılı çözümlü sorular ve problemler konusunu inceleyeceğiz.
İlk etapta kısa bir konu anlatımı yapacağız, sonrasında ise çözümlü örnekler işleyeceğiz.
Dik üçgen, bir ölçüsü 90 derece olan özel üçgenlerden bir tanesidir. Dik üçgenin 2 adet dik kenarı 1 adette hipotenüs kenarı bulunmaktadır.
Dik üçgenin alanı, 2 dik kenarının birbiri ile çarpımının yarısına eşittir. Şimdi bu konu ile ilgili çözümlü örnekler yapalım arkadaşlar.
Soru 1: Aşağıdaki ABC dik üçgeninde verilenlere göre x in uzunluğu ne kadardır?
Cevap: Arkadaşlar basit bir dik üçgen pisagor bağlantılı soru sorulmuş.
Bura da 8 ile x in kareleri toplamı 17 nin karesi toplamına eşit olmalıdır.
Buradan da 64 + x² = 289
x² = 225 buradan da x = 15 olarak buluruz.
Soru 2: Aşağıdaki üçgenlerde verilenlere göre x in uzunluğu ne kadardır?
: 
Cevap: Verilenlere göre ilk önce içerdeki üçgenden AC uzunluğunu bulalım.
Dik kenarları 3 ve 4 olan üçgenin AC uzunluğu 3 ve 4 ün kareleri toplamına eşittir. Yani 9 + 16 = AC nin karesi
AC = 5 olarak buluruz.
Şimdi de büyük üçgene baktığımızda dik kenarları 12 ve 5 tir. O halde
12 nin karesi ile 5 in karesi toplamı x in karesi toplamına eşittir.
144 + 25 = x²
169 = x²
x= 13 olarak cevabı buluruz.
Soru 3: Aşağıdaki dik üçgende a ve b uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre a ve b değerlerinin toplamı ne kadardır?
Cevap: kök 7 nin karesi ile a nın karesinin toplamı b ye eşit olmalıdır.
a ve b uzunlukları birer tam sayı olması gerektiğine göre burada özel üçgen teoremi vardır arkadaşlar.
Yani a ve b nin tam sayı olma koşulunu sağlayan tek üçgen 7, 24, 25 üçgenidir.
Dolayısıyla da a ve b nin toplamı 24 + 25 = 49 olarak bulunur.
Soru 4 : Aşağıdaki dik üçgende verilenlere göre ABC ücgeninin alanı ne kadardır?
Cevap: a² + (a-1)² = 14² ne eşittir. Bunu da açarsak
a² + a² -2a +1 = 196
2a² – 2a = 195 buradan da 2 ile sadeleştirirsek a² – a = 195/2 olur.
verilen üçgende alan ise a. (a-1) /2 dir. Bu da (a² – a ) / 2 olur.
a² – a yı 195/2 bulmuştuk bunu yerine koyarsak
(195/2 ) /2 = 195/4 olarak alanı bulmuş oluruz.
Soru 5: Aşağıdaki ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC], |BC| = 12 cm, |AC| = x + 8 cm ve |AB| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.
Cevap: ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC] olduğundan
|AC|² = |AB|² + |BC|² olur arkadaşlar.
(x + 8)² = x² + 12²
x² + 16x + 64 = x² + 144 olur.
16x = 80
x = 5 cm bulunur.
Soru 6: Aşağıdaki ABC nde |AD| = 5 cm, |AC| = 13 cm, |BD| = 6 cm, |DC| = 12 cm ve |AB| = x cm olduğuna göre x in kaç olduğunu bulalım.
Cevap: ADC üçgeninde |AD|² + |DC|² = |AC|²
5² + 12² = 13²
25 + 144 = 169
169 = 169 olduğundan [AD] ⊥ [DC] olur. O hâlde [AD] ⊥ [BD] olur.
ABD üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.
|AD|² + |BD|² = |AB|²
5² + 6² = x²
x² = 25 + 36
x² = 61 cm
x = \( \displaystyle\sqrt[]{61} \) cm bulunur.
Soru 7: Aşağıdaki şekilde B, E ve C noktaları doğrusal, [AB] ⊥ [BC], [DC] ⊥ [BC], |AB| = 4 cm, |DC| = 2 cm ve |BC| = 8 cm olmak üzere |AE| + |ED| nun en küçük değerini bulalım.
Cevap: |AE| + |ED| nun en kısa olması için D noktasının C ye göre simetriği alındığında oluşan D’ noktası ile E ve A nın doğrusal olması gerekir. Şekli aşağıdaki gibi dik üçgene tamamlarsak [AD´], AB´D´ dik üçgenin hipotenüsü olur. |BC| = |B´D´| = 8 cm, |DC| = |CD´| = 2 cm olmak üzere |AB´| = 6 cm olur.
AB´D´ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım.
|AD´|² = |AB´|² + |B´D´|²
= 6² + 8²
= 36 + 64
|AD´|² = 100
|AD´| = 10 cm olur. Buradan |AE| + |ED| nun en küçük değeri 10 cm bulunur.