Arkadaşlar bu yazımızda sizlere 7. Sınıf Matematik 5. Ünite konusu olan Doğrular ve Açılar konusunu anlatacağız. Bu konu ile birlikte temel açı kavramlarını ve açıların doğrular ile ilişkisini öğreneceğiz.
DOĞRULAR ve AÇILAR
Eş Açılar
Açı ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir. m(A) = m(B) ise;
\( \widehat{A} ≅ \widehat{B} \) olur.
Burada “≅” işareti eşlik sembolüdür ve “A açısı eştir B açısı” diye okunur.
Açıortay
Bir açıyı iki eş parçaya ayıran ışına bu açının açıortayı
denir. \( \widehat{BAN} ≅ \widehat{NAC} \) olmak üzere AN ışınına, BAC açısının açıortayı denir.
Bir açının açıortayını çizmek için;
Açımız AOB olursa
Pergelin sivri ucunu O noktasına koyarak açının kollarını T ve S noktalarından kesen bir yay çizelim.
Pergeli |TS|’nun yarısından fazla olacak şekilde açıp merkezi S olan bir yay çizelim.
Pergelin açıklığını bozmadan merkezi T olan ve bir önceki yayı kesen farklı bir yay çizelim. Yayların kesim noktasını N olarak adlandıralım. A ile N noktalarını cetvelle birleştirelim.
Burada \( \widehat{BON} ≅ \widehat{NOA} \) çizilmiş olur. Yani AOB açısının açıortayı olan ON ışını çizilmiş olur.
Örnek;
Aşağıdaki ABC üçgeninde AD doğru parçası, BAC açısının açıortayı olduğuna göre BAD ve DAC açılarının ölçülerini bulalım.
Çözüm;
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan
55° + 35° + m(BAC) = 180°
90° + m(BAC) = 180°
m(BAC) = 180° – 90° = 90° olur.
[AD] açıortay olduğundan m(BAD) =m(DAC) olur.
m(BAD) = m(BAC)/2 = 90° /2 = 45°
m(BAD) = m(DAC) olduğundan m(DAC) = 45° bulunur.
Üç Doğrunun Birbirine Göre Durumları
Aynı düzlemde olan üç doğru birbirine göre beş farklı durumda olabilir.
1. Yandaki düzlemde d, m ve n doğruları bir noktada kesişmektedir.
Aynı noktadan geçen doğrulara noktadaş doğrular denir.
2. 
Yandaki düzlemde verilen d, m ve n doğruları birbirini kesmediğinden paralel doğrulardır.
d // m // n’ dir.
3. 
Yandaki düzlemde verilen üç doğrudan ikisi paraleldir. Diğeri bu paralel doğruları kesendir. d ve m doğruları birbirine paraleldir.
n doğrusu ise bu doğruların her birini farklı birer noktada kesmektedir.
4. 
Yandaki düzlemde verilen k, m ve n doğruları ikişer ikişer kesişerek bir üçgen oluşturmuştur.
5. 
Aynı düzlemde olan üç doğrunun en az iki noktası ortak ise bu doğrulara çakışık doğrular denir.
İki Doğru ile Bir Kesenin Oluşturduğu Açılar
Aynı düzlemdeki üç doğrunun birbirine göre durumlarını görmüştük. Şimdi ise iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıları göreceğiz.
Ters Açılar;
İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılardan komşu olmayan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
k ve l kesiştiğinde oluşan a ile c ve b ile d açıları ile k ve m kesiştiğinde oluşan f ile h ve e ile g açıları ters açılardır.
İç açılar;
İki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılarda iki doğru arasında kalan açılara iç açılar denir.
k ve l kesiştiğinde oluşan a ile b; k ve m kesiştiğinde oluşan e ile f iç açılardır.
İç Ters Açılar;
İki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde bu doğrular arasında kalan, kesenin farklı tarafındaki komşu olmayan açılara iç ters açılar denir. İki doğru birbirine paralel ise iç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
l // m ve k kesen olmak üzere a ile b açıları iç ters açılardır.
Örnek;
Aşağıdaki şekilde k // l m(ABC) = 40° ve m(CDE) = 60° olduğuna göre m(DCB) = x kaç derecedir ?
Çözüm;
C noktasından geçecek şekilde ve x açısını bölen, k ve l doğrularına paralel bir m doğrusu çizelim.
Sonradan çizdiğimiz m doğrusu, k ve l doğrularına paralel olduğundan GCD ile EDC ve ABC ile GCB iç ters açılardır.
m(GCD) = m(EDC) = 60° olur (iç ters açılar)
m(ABC) = m(GCB) = 40° olur (iç ters açılar). Buradan
m(BCD) = m(GCB) + m(GCD)
m(BCD) = x = 40° + 60°
x = 100° olur.
!!!! FORMÜL :
Yukarıdaki şekilde AB // CD, m(ABE) = x ve m(EDC) = y ise, m(BED) = x + y olur.
Dış Açılar;
İki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılarda iki doğru arasında olmayan açılara dış açılar denir.
Dış Ters Açılar;
İki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde bu doğruların arasında kalmayan, kesenin farklı tarafındaki komşu olmayan açılara dış ters açılar denir. İki doğru birbirine paralel ise dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
l // m ve k kesen olmak üzere a ile d açıları dış ters açılardır.
Yöndeş Açılar;
İki doğrunun bir kesen ile yaptığı açılardan, açıyı oluşturan doğrulardan en az biri ortak ve aynı yönlü olan açılara yöndeş açılar denir. Eğer birbirini kesmeyen bu iki doğru birbirine paralel ise yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
l // m ve k kesen olmak üzere a ile d açıları yöndeş açılardır.
Örnek;
Aşağıdaki şekilde d1 // d2, m(ABC) = 60° ve m(BCD) = 60° olduğuna göre
m(EDC) = x’in kaç derecedir ?
Çözüm;
d1 ve d2 doğrularını paralel olarak uzatalım. Bu durumda paralel iki doğru ile bu iki doğruyu kesen bir doğru parçası elde etmiş oluruz. d2’nin uzantısını kesen [BC]’nın kestiği noktaya F diyelim.
Buna göre ABC açısı ile EFC açısı yöndeş açılar olur. d1 ve d2 doğruları birbirine paralel olduğu için yöndeş açılarımızın ölçüsü birbirine eşittir.
m(ABC) = m(EFC) = 60º olur.
CDF üçgeninde m(CDF)’nü bulalım.
m(CDF) +m(DCF) +m(CFD) = 180° (CDF üçgeninin iç açıları toplamı)
m(CDF) + 60° + 60° = 180°
m(CDF) + 120° = 180°
m(CDF) = 180° – 120°
m(CDF) = 60° dir.
CDF ile EDC bütünler açı olduğundan
m(CDF) + m(EDC) = 180°
60° + x = 180°
x = 180° – 60°
x = 120° olur.
m(EDC) = x =120° bulunur.
Karşı Durumlu Açılar(U Kuralı);
Paralel iki doğru arasında kalan ve aynı yöne bakan açılara karşı durumlu açılar denir. Karşı durumlu açılar birbirini bütünler açılardır. Yani açılarının ölçüleri toplamı 180 derecedir.
a + b = 180º
Örnek;
Aşağıdaki şekilde [CD // [BA, m(BCD) = 124° ise m(ABC) = x kaç derecedir?
Çözüm;
DCB ve ABC açıları karşı durumlu açılardır. Yani
m(DCB) + m(ABC) = 180° olur. Bu durumda;
124º + x = 180°
x = 180° – 124°
x = 56° olarak bulunur.
Komşu Bütünler Açılar;
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. Başlangıç noktaları aynı ve birer kolları ortak olan açılara komşu açılar denir. Bütünler açılar aynı zamanda komşu açılar ise komşu bütünler açılar olarak adlandırılır.
a + d = 180°, d + c = 180°, c + b = 180° ve b + a = 180° olduğundan a ile d, d ile c, c ile b ve b ile a açıları komşu bütünler açılardır.
e + h = 180°, h + g = 180°, g + f = 180° ve f + e = 180° olduğundan e ile h, h ile g, g ile f ve f ile e komşu bütünler açılardır.
Örnek;
Aşağıdaki şekilde AC // DF ve [BE] kesen olmak üzere m(EBA) = 7x – 7° ve m(DEB) = 3x + 7° ise x’in kaç derecedir ?
Çözüm;
AC // DF ve [BE] kesen olmak üzere
m(EBA) = 7x – 7° ise
m(EBC) +m(EBA) = 180° dir (komşu bütünler açılar). Buradan
m(EBC) + 7x – 7°= 180°
m(EBC) = 180° – (7x – 7°)
m(EBC) = 180° – 7x + 7°
m(EBC) =187° – 7x olur.
DEB ile EBC iç ters açılar olduğundan
m(DEB) = m(EBC)
3x + 7º = 187º – 7x
3x + 7x = 187º – 7º
10x = 180º
x = 18º bulunur.