11. Sınıf Matematik Trigonometri-4 Konu Anlatımı

Arkadaşlar bu yazımızda 11. Sınıf ve 12. Sınıf Matematik dersinin Trigonometri konusu anlatacağız. Bu konuyla birlikte bazı terimleri daha iyi kavrayacağınızı umuyoruz.

  • Trigonometrik Toplam ve Fark Formülleri
  • Yarım Açı Formülleri
  • Dönüşüm Formülleri
  • Ters Dönüşüm Formülleri
  • Pisagor Formülleri
  • Trigonometrik Denklemler

 

İKİ YAY TOPLAMININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

♦  sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y

♦  cos (x + y) = cos x. cos y – sin x. sin y

♦  tan (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x + tan~y}{1- tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x + y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x+y)} \)

 

İKİ YAY FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

♦  sin (x – y) = sin x. cos y – cos x. sin y

♦  cos (x – y) = cos x. cos y + sin x. sin y

♦  tan (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{tan~x – tan~y}{1+ tan~x. tan~y} \)

♦  cot (x – y) = ​\( \displaystyle\frac{1}{tan(x-y)} \)

 

NOT :  a ve b reel sayılar olmak üzere ​

\( -\sqrt{a^2 + b^2}​≤a.sinx +b.cosx≤\sqrt{a^2 + b^2}​ \)olur.

 

Örnek;

\( \displaystyle\frac{sin 48º}{sin 16º} – \frac{cos 48º}{cos 16º} \)​ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm;

\( \begin{equation}\displaystyle{\frac{sin 48º}{sin 16º}} – \frac{cos 48º}{cos 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin 48º. cos 16º – cos 48º. sin 16º}{cos 16º. sin 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{sin (48º – 16º)}{\displaystyle\frac{1}{2}. 2. sin 16º. cos 16º}\end{equation} \)

= ​\( \begin{equation}\displaystyle\frac{2. sin 32º}{\displaystyle{sin 32º}}\end{equation} = 2 \)​ olur.

 

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

 

♦  sin 2x = 2. sin x. cos x

♦  cos 2x = cos²x – sin²x

♦  cos 2x = 2. cos²x – 1

♦  cos 2x = 1 – 2. sin²x

♦  tan 2x  = ​\( \displaystyle\frac{2. tan x}{1 – tan^2 x} \)

 

Örnek;

3. sinx – 4. cosx = 0 olduğuna göre, |cos 2x| değeri kaçtır ?

Çözüm;

3. sinx – 4. cosx = 0 ise

3. sinx = 4. cosx olur. Buradan

3/4 = sinx/cosx = tanx ‘dir.

tanx = 3/4 ise 3- 4- 5 üçgeninden hipotenüs 5  ve cos x = 3/5 olur.

cos 2x için yarım açı formüllerinden uygularsak;

cos 2x = 2. cos² – 1

cos 2x = 2. (3/5)² – 1

cos 2x = 18/25 – 1 = -7/25

|cos 2x| = |-7/25| = 7/25 olur.

PİSAGOR FORMÜLLERİ

 

♦  sin²x + cos²x = 1

♦  tan²x + 1 =  sec²x

♦  cot²x + 1 =  cosec²x

DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

 

Toplam veya fark durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

♦  ​\( sin x + sin y = 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( sin x – sin y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x + cos y = 2.cos\displaystyle\frac{x + y}{2}. cos\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( cos x – cos y = – 2.sin\displaystyle\frac{x + y}{2}. sin\displaystyle\frac{x – y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y}{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y} = tan\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

♦  ​\( \displaystyle\frac{cos x + cos \displaystyle\frac{x + y}{2} + cos y}{sin x + sin \displaystyle\frac{x + y}{2} + sin y} = cot\displaystyle\frac{x + y}{2} \)

 

TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

 

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri toplam durumuna getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

♦  ​\( cos x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) + cos (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. cos y = \displaystyle\frac{1}{2}[sin (x + y) + sin (x – y)] \)

♦  ​\( sin x. sin y = – \displaystyle\frac{1}{2}[cos (x + y) – cos (x – y)] \)

 

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

 

İçinde trigonometrik ifade barındıran denklemlere trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.

NOT : Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine .., -1, 0, 1 .. gibi tam sayılar yazılarak denklemin kökleri bulunur. Bu köklerden bize verilen aralıkta olanları alınır.

Trigonometrik Denklem Çeşitleri

“sin x = sin a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi sin x = sin a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x_1} \)​ = a + 360º.k = a + 2πk

\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – a + 360º.k = π- a + 2πk olur.

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Örnek; 

sin x = sin 70º ve x ∈ [0, 2π] olmak üzere x’in çözüm kümesi nedir ?

Çözüm;

\( \displaystyle{x_1} \) = 70º + 360º.k

\( \displaystyle{x_2} \) = 180º – 70º + 360º.k = 110º + 360º.k

k = 0 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = 70º

\( \displaystyle{x_2} \) = 110º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığında olur.

 

k = 1 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = 430º

\( \displaystyle{x_2} \) = 470º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,   x’in aralığının dışında olur.

 

k = – 1 ⇒  \( \displaystyle{x_1} \) = -290º

  \( \displaystyle{x_2} \) = -250º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

Bu durumda x’in çözüm kümesi {70º, 110º } olur.

“cos x = cos a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi cos x = cos a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi iki alt köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x_1} \)​ = a + 360º.k = a + 2πk

\( \displaystyle{x_2} \) = – a + 360º.k = – a + 2πk olur.

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Örnek; 

cos 3x = sin x ve x∈ [0º, 180º] ise x’in çözüm kümesi ne olur ?

Çözüm;

Formülü uygulayabilmek için sin x ‘i kosinüs cinsinden yazalım.

cos 3x = cos ( 90º – x)

3x​ = 90º – x + 360º.k  ⇒ x = 22,5º + 90º.k

3x = – 90º + x + 360º.k ⇒ x = – 45º + 180º.k

x, [0º, 180º] aralığında olduğuna göre k’ya değerler verirsek;

k = 0  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = 22,5º

\( \displaystyle{x_2} \)= – 45º

\( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

 

k = 1  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = 112,5º

\( \displaystyle{x_2} \)= 135 º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığında olur.

 

k = – 1  ⇒  \( \displaystyle{x_1} \)​ = – 67,5º

  \( \displaystyle{x_2} \)= – 225 º

\( \displaystyle{x_1} \) ve \( \displaystyle{x_2} \) ,  x’in aralığının dışında olur.

 

“tan x = tan a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi tan x = tan a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x} \)​ = a + 180º.k = a + πk

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

“cot x = cot a”  Denklemi

Bir trigonometrik denklemi cot x = cot a durumuna getirdiğimizde çözüm kümesi tek köke sahiptir. k tam sayı olmak üzere 0º < x < 360º ise ;

\( \displaystyle{x} \)​ = a + 180º.k = a + πk

“x” bir aralık ile sınırlanmaz ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 

Arkadaşlar Trigonometri Konusuna aşağıdaki linklerden devam edebilirsiniz.

11. Sınıf Matematik Trigonometri-1 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-2 Konu Anlatımı

11. Sınıf Matematik Trigonometri-3 Konu Anlatımı

Trigonometri Çözümlü Sorular-1

Trigonometri Çözümlü Sorular-2

Trigonometri Çıkmış Sorular

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.