11. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi (Katı Cisimler) Konu Anlatımı Pdf dersimize hoşgeldiniz sevgili öğrenciler. Konu anlatımı dersimizden sonra dilerseniz. 11. Sınıf Matematik Uzay Geometrisi Çözümlü Sorular yazımızıda inceleyebilirsiniz.
Katı Cisimler
Dik Dairesel Silindir, Dik Dairesel Koni, Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları
Silindir
Uzaydaki bir düzlemde bir k kapalı eğrisi ile bu düzleme paralel olmayan bir d doğrusu verilmiş olsun. k eğrisini kesen ve d doğrusuna paralel olan doğruların kümesine silindirik yüzey denir. k eğrisine silindirik yüzeyin dayanak eğrisi, d doğrusuna paralel olan doğruların her birine silindirik yüzeyin ana doğrusu denir.
Silindirik yüzey ile bu yüzeyi kesen paralel iki düzlemin sınırladığı cisme silindir denir. Düzlem ile oluşan kesitlerin her birine silindirin tabanı denir.
Ana doğrunun tabanı kestiği noktada, tabandan geçen bütün doğrulara dik olan silindire dik silindir, tabanları daire olan dik silindire dik dairesel silindir denir. Bu kitapta dik dairesel silindir yerine silindir ifadesi kullanılacaktır.
Silindirin tabanlarının merkezinden geçen doğruya silindirin ekseni denir.
Silindirin tabanları arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği denir.
Silindirin yüksekliği aynı zamanda ana doğru parçasının uzunluğudur.
Dikdörtgensel bölgenin 360° döndürülmesi ile dönel silindir elde edilir.
Dik dairesel silindire dönel silindir de denir.Silindir ile silindirin tabanlarına dik bir düzlemin kesişimi dikdörtgendir.
Silindir ile silindirin tabanlarına paralel bir düzlemin kesişimi dairedir.
Örnek: O1 ve O2 taban merkezleri olmak üzere yanda verilen silindirin yüksekliği 10 birim, taban yarıçapı 5 birimdir. K, taban dairesinin çevresi üzerinde bir nokta olduğuna göre O1K uzunluğunun kaç birim olduğunu bulunuz.
Cevap: O1, O2 ve K noktaları birleştirildiğinde O1KO2 dik üçgeni oluşur.
Bu dik üçgende Pisagor teoremi uygulandığında;
|O1K|² =|O1O2|²+|KO2|² = 10² + 5² = 125 olur. Buradan
|O1K| = 5√5 birim olur.
Silindirin Yüzey Alanı
Aşağıda taban yarıçapı r, yüksekliği h olan silindirin açınımı görülmektedir.
Açınımda görüldüğü gibi silindirin yan yüzeyi bir dikdörtgen; tabanları, birbirine eş dairelerdir. Silindirin yüzey alanı, oluşan dikdörtgenin alanı ve iki taban dairesinin alanları toplamıdır.
Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu silindirin yüksekliğine, bu kenara dik olan kenar uzunluğu dairenin çevre uzunluğuna eşittir.
Aşağıda bazı ifadelerin sembolleri verilmiştir.
Yanal yüzey alanı = YA
Taban alanı = TA
Tüm silindirin yüzey alanı = SA
Taban dairesinin yarıçapı = r
Buradan
Yanal yüzey alanı = Taban çevresi . Yükseklik ⇒ YA = 2πr.h,
TA = π.r² birimkare ⇒ Taban alanları toplamı 2.TA = 2π.r² olur.
Tüm silindirin yüzey alanı = Yanal yüzey alanı + 2 . Taban alanı olduğundan
SA = YA + 2.TA
SA = 2πr.h + 2π.r² olur.
Örnek: Bir silindirin taban alanı 20π birimkare, yanal alanı 120π birimkare olduğuna göre bu silindirin yüksekliğinin kaç birim olduğunu bulunuz.
Cevap: Taban alanı π.r² = 20π olduğundan r = 2√5 birim olur.
YA= 2πr.h = 120π olduğundan 2π. 2√5.h = 120π olur. Buradan
silindirin yüksekliği \( h=\displaystyle\frac{30}{√5} =6√5 \ birim \ olur. \)
Silindirin Hacmi
Prizmanın hacmi, prizmanın taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı olduğundan silindirin hacmi de silindirin taban alanı ile yüksekliğinin çarpımı olur.
Taban dairesinin yarıçapı r, yüksekliği h olan bir silindirin taban alanı πr² olduğundan hacmi πr².h olur. O hâlde silindirin hacmi V = πr².h olur.
Örnek: Yanal yüzey alanı 120π birimkare olan silindirin taban yarıçapı 8 birimdir. Buna göre silindirin hacminin kaç birimküp olduğunu bulunuz.
Cevap: YA= 2πr.h = 120π ⇒ 2π.8.h = 120π
h = 15/2 birim olur. Buradan;
silindirin hacmi V = π.r².h = π.8². \( \displaystyle\frac{15}{2} \) = 480π birimküp olarak bulunur.
Koni
Konisel yüzey bir düzlemle kesildiğinde tepe noktası ile kesit arasında kalan cisme koni denir.
Düzlemsel kesite koninin tabanı, tepenin tabana olan uzaklığına koninin yüksekliği denir.
Tepeden tabana indirilen dikme, tabanın ağırlık merkezinden geçiyorsa bu tür konilere dik koni, tabanı daire olan dik koniye dik dairesel koni denir.
Aşağıdaki koni, [AB] tabanın bir çapı olmak üzere (T, AB) biçiminde
gösterilir.
Koninin tepe noktasından ve tabanın ağırlık merkezinden geçen
doğruya koninin ekseni denir.
Koninin ana doğru parçalarının uzunlukları eşittir.
(|TA| = |TB| = |TC|)
Örnek: Bir koninin taban yarıçapının uzunluğu koninin yüksekliğinin yarısına eşittir. Koninin ana doğru parçasının uzunluğu 20 birim olduğuna göre koninin yüksekliğini bulunuz.
Cevap: Şekildeki TOA dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
4r² + r² = 20²
5r² = 20² ⇒ 5r² = 400
⇒ r² = 80 ⇒ r = 4√5 birim olur. Buradan
koninin yüksekliği |TO| = 2r = 2.4√5 = 8√5 birim olur.
Koninin Yüzey Alanı
Koni yüzeyi, yanal yüzey ve taban yüzeyi olmak üzere iki bölümden oluşur.
Taban yarıçapı r, ana doğru parçasının uzunluğu l olan bir koninin açınımı aşağıda verilmiştir.
YA = π.r.l
TA = π.r²
Koninin tüm yüzey alanı A = YA+ TA = π.r.l + π.r² olur.
Örnek: Bir koninin yüzeyi AB yayından tepe noktasına kadar şekildeki gibi boyanmıştır. Koninin ana doğru parçasının uzunluğu 12 cm ve AB yayının uzunluğu 4π cm olduğuna göre boyalı yüzeyin alanının kaç santimetrekare olduğunu bulunuz.
Cevap: TAB yüzeyinin açınımı bir daire dilimi olur.
O hâlde boyalı yüzeyin alanı
\( \displaystyle\frac{4π.12}{2} = 24π \) cm² olarak bulunur.
Koninin Hacmi
Koninin hacmi = \( \displaystyle\frac{πr^2h}{3} \ dir. \)
Örnek: Aşağıdaki daire diliminin merkez açısının ölçüsü 135° ve |AB|=|AC|= 8 birim olarak verilmiştir. Bu daire diliminin AB ile AC kenarları bir koni olacak şekilde çakıştırılıyor. Buna göre oluşan koninin hacmini bulunuz.
Cevap: \( \displaystyle\frac{r}{l}=\frac{α}{360°} ⇒ \frac{r}{8}=\frac{135°}{360°} ⇒ r = 3 \ birim \ olur. \)
AOB dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında
h² + 9 = 64 ⇒ h = √55 birim olur. Buradan
oluşan koninin hacmi \( V = \displaystyle\frac{πr^2.h}{3} = \frac{π3^2.√55}{3}=3√55π \ birimkp\ olur. \)
Küre
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların kümesine küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlı cisme küre denir.
Sabit noktaya kürenin merkezi, kürenin üzerindeki herhangi bir noktanın merkeze uzaklığına kürenin yarıçapı denir.
Kürenin Yüzey Alanı
Bir kürenin yüzey alanı, kürenin en büyük dairesinin alanının 4 katıdır.
O hâlde kürenin en büyük dairesinin alanı πr2 olduğundan kürenin yüzey alanı A = 4πr² olur.
Örnek: Yarıçapı 2 birim olan kürenin yüzey alanını ve en büyük dairesinin alanını bulunuz.
Cevap: Kürenin yarıçapı r = 2 olduğundan
kürenin en büyük dairesinin alanı π.r² = π.2² = 4π birimkare,
kürenin yüzey alanı 4π.r² = 4π.2² = 16π birimkare olur.
Kürenin Hacmi
Kürenin hacmi; \( V = \displaystyle\frac{4πr^3}{3} \ tür. \)
Örnek: Yarıçapı 3 birim olan bir kürenin hacmini bulunuz.
Cevap: Kürenin hacmi \( V = \displaystyle\frac{4π.3^3}{3} = \frac{4π.27}{3} = 36π \ birimküp \ olur. \)